994 Gesammtsitzung vom 30. Juli. — Mittheilung vom 16. Juli. 
Nach Gleichung (5.), $ı und (6.), $2 ist 
IST ER ad 5 en 
halyXaXy =f Ey haay X& —f rn, Ne, Xp- 
Multiplieirt man mit %, und summirt nach y, so ergiebt sich nach 
(7.) die Formel 
(9-) 
die für «= (0 mit (7.) übereinstimmt. In derselben Weise findet man 
die Formel 
(10.) ee Rapy Xaby =(, 
h 
> 
Se he Xa en haßy XxB Xy ’ 
e DY 
die für &=0 in (8.) übergeht. 
Eliminirt man aus den Gleichungen (6.), $2 und (9.) die Pro- 
ducte %3%,, so erhält man die linearen Gleichungen 
h 
— ha a > aß Xr 
ef la X. 5 Pe&X 
B 
(mn) 
Daher sind die k Grössen gm” = ef" die Wurzeln der Gleichung 
k“® Grades 
(12.) | gp«s — her | = 0. 
Nach Gleichung (4.), $2 ist 
1 nr 2 
(1:35) I Pas Va -=2 ER, (z un) = 
Diese quadratische Form, deren Determinante von Null verschieden 
ist, ist also eine positive bestimmte Form. Daher sind die k Wurzeln 
g der Gleichung (12.) alle reelle positive Grössen, und die Elementar- 
theiler jener Determinante sind alle linear. Für eine mfache Wurzel 
g= ef verschwinden also auch ihre Unterdeterminanten (k-m + 1)” 
und höheren Grades. Mithin ist der Rang des Systems linearer Glei- 
chungen (rr.) gleich k-m, und sie besitzen m unabhängige Lösungen. 
Die einer mfachen Wurzel g— ef entsprechenden m Charaktere %,. können 
dann zunächst als lineare Verbindungen von solchen m unabhängigen 
Lösungen dargestellt werden, und wenn man diese in die Gleichungen 
(6.), $ 2 einsetzt, findet man die Coefficienten dieser Verbindungen 
durch Auflösung einer Gleichung m‘ Grades. Die ursprünglich zur 
Bestimmung der %k Charaktere gefundene Gleichung k“" Grades (12.), 
$2 zerfällt also nach Auflösung der Gleichung (12.) in so viele Fac- 
toren, als diese Gleichung verschiedene Wurzeln hat, und zwar ent- 
spricht einer mfachen Wurzel der Gleichung (12.) ein Factor »n“” Grades. 
Was nun aber die Gleichung (12.) aubetrifft, so lässt sich weiter 
zeigen, dass ihre Wurzeln nicht nur reell und positiv sind, sondern 
a 
