Frosexiwws: Über Gruppencharaktere. 995 
dass sie ganze Zahlen ($ 6) und sogar die Quadrate von ganzen Zahlen 
sind, die in A aufgehen. Es ist mir aber bis jetzt nicht gelungen, 
diese Sätze durch so einfache Betrachtungen zu beweisen, wie die 
obigen Ergebnisse. 
Die Factoren f") sind bisher beliebig, aber von Null verschieden 
angenommen. Mittelst der Formeln (3.) ergeben sich aus ihnen die 
Faetoren e”. Da 99 = ef" eine reelle positive Grösse ist, so soll 
auch f) reell und positiv gewählt werden. Dann gilt dasselbe von 
e”. Zu den einfachsten Formeln gelangt man, wenn man f=yg 
setzt. Dann ist e=f=%. Wie schon erwähnt, ist dann e eine 
positive in 4 aufgehende ganze Zahl, und es lässt sich zeigen, dass 
%. eine Summe von f Einheitswurzeln des Grades n ist, falls » die 
Ordnung der Elemente der «“" Classe bedeutet. 
Nach Gleichung (1r.) und (6.), $ı und (4.), $ 2 ist 
(14.) = Kahn. 
Nun genügt man nach (6.), $ı den Gleichungen (6.), $ 2, indem man 
alle Grössen %.= f setzt. Der entsprechende Werth von ef ist 1. 
Daher kann man e=f=1, also x.=]1 setzen. Dieser Charakter 
möge der Hauptcharakter genannt werden. Wählt man in der Glei- 
chung (8.) diesen für Y, so erkennt man, dass jeder andere Charakter 
der Gleichung 
(15.) > hau 0) 
genügt. 
Da die Determinante (8.), $ 2 von Null verschieden ist, so hat die 
Gleichung (12.), $2 keine mehrfachen Wurzeln. Auch können, wenn 
%, und / zwei verschiedene Charaktere sind, die Grössen Yo, %ıs : %iaı 
nicht den Grössen %,, %,, --- W,_, proportional sein. Ebenso ist jede 
Classe (&) durch die % entsprechenden Werthe x%) vollständig be- 
stimmt, es kann nicht, wenn & und ® verschieden sind, 4 = 4 
für alle Werthe von z sein. Da die Coefficienten der Gleichung (12.), 
$ 2 reell sind, so entspricht, falls &,, &,, --- %_, reelle Variabele sind, 
jeder complexen Wurzel eine conjugirte complexe Wurzel. Sind also 
%,. und %. eonjugirte complexe Grössen, so entspricht jedem Charakter 
%,. ein conjugirter complexer Charakter %,. Es muss aber %, — y,. sein. 
Denn zunächst ist nach (6.), $ 2 
rn SS 
hah,xaXy = j - aß Xa' —/- Naray Xa' ’ 
und folglich ist V,=y,. ein Charakter. Wäre dieser von %/ ver- 
schieden, so wäre nach (8.) $Ax.d.=0, demnach Ih, u.X. =; 
während jedes Glied als Product von zwei conjugirten complexen Grössen 
