1002 Gesammtsitzung vom 30. Juli. — Mittheilung vom 16. Juli. 
Ist umgekehrt % irgend einer der %k Charaktere, so ist Z ein 
linearer Factor der Determinante ©. Setzt man nämlich in den 
Gleichungen (17.) und (18.) 5 =%,, so wird 
1 
I > De > &crX(R), Ayzy = > 2, hacy Dax, u; > halyXaXy Bas 
also 
(21.) Sx(Ran—x(C)E — FxCh)e,—=x(C)E 
In der Determinante (14.) multiplieire man die Elemente der ersten 
Zeile (P= E) mit der von Null verschiedenen Zahl x(E)=f, die 
Elemente der Zeile, die durch den Index P charakterisirt ist, mit %(P), 
und addire dann alle Zeilen zur ersten. Dann wird irgend ein Ele- 
ment der ersten Zeile 
> x(P)apg-ı == x(Q)E; 
und folglich ist © durch & theilbar. Daher ist 
KONG] 1 9” 
(2223) = |?79-: | —=I (er) — Bloc >3 haxn: ..) , 
wo 9” eine von Null verschiedene ganze Zahl ist. 
Mit Hülfe der Sätze über die Matrizen (linearen Systeme), die ich 
in meiner Arbeit Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, ORELLE’s 
Journal Bd. 84 entwickelt habe, ergiebt sich für diesen Satz ein zweiter 
Beweis, aus dem zugleich die Bedeutung der Zahlen g® erhellt. Das 
bisher mit (&79-ı) bezeichnete System von A Zeilen und Spalten will 
ich noch kürzer mit (x) bezeichnen. Ist e2z=0, wenn R von E ver- 
schieden ist, aber e;—1, so ist (e79-1) = (e) das Einheitssystem, das 
aus (2) hervorgeht, indem man sl, = =‘, — sek 
Dann wird der Inhalt der Gleichungen (5.) und (6.), $3 ausgedrückt 
durch die Formel 
(23) 3 (4) =@ 
und der der Gleichungen (9.) durch die Formeln 
1 e 1 1 1 
( 2 4.) (+ ec) x") = (% en) - (+ e®) x) ( er) x) — 
Lässt man in der ersten den Index x weg, so zeigt sie: Die Gleichung 
INSLE I e R i e 
niedrigsten Grades, der das System (2) genügt, ist (A) = (j). 
8 v = ı 
wenn Y(r)=r(r-1) ist. Daher kann auch die charakteristische De- 
terminante $(r) dieses Systems nur für r—=0 und r=1 verschwinden, 
und weil ı/(r) keinen mehrfachen Linearfactor hat, so sind ihre Ele- 
mentartheiler alle vom ersten Grade. Ist also 
-9-(%)|=re-D 
(25.) o(r) = 
