1006 Gesammtsitzung vom 30. Juli. — Mittheilung vom 16. Juli. 
duct der k verschiedenen Linearfactoren von ©. Die Beziehung zwi- 
schen diesen beiden Determinanten A“ und k“" Grades ist wohl eins 
der merkwürdigsten Ergebnisse der entwickelten Theorie. 
Aus der Gleichung (5.) folgt noch, dass, wenn &° ein Factor 
von ® ist, die Unterdeterminanten (k—1)"" Grades von ® alle durch 
&’” theilbar sind. Daher sind die Unterdeterminanten (A—2)"" Grades 
alle durch 2°, --- die (A-9+1)"" Grades alle durch & theilbar, die 
(h-9)"" Grades aber nicht mehr alle durch £ theilbar. Sind also 
% 5%," &_, unabhängige Variabele, so hat © nur lineare Elementar- 
theiler. 
Sind je zwei Elemente von 5 vertauschbar, so ist k=h, die 
Charaktere, die durch die Bedingungen 
(9.) x(AB) = x(A)x(B) 
bestimmt sind, sind alle vom Grade f—=1, die Determinante A‘ Grades 
®, die mit der Determinante %k“" Grades (14.), $2 identisch wird, 
enthält jeden Linearfactor in der Potenz e=1, und ihre Zerlegung ist 
mit Hülfe der Relationen (9.) leicht direet auszuführen. Für cyklische 
Gruppen, bei denen £ in die Resolvente von LAGrAangE übergeht, ist 
sie schon 1853 von SPoTTIswooDE, Elementary Theorems relating to Deter- 
minants, Crerze's Journal Bd. 51, S. 375 angegeben. Andere Fälle 
haben NötHer, Notiz über eine Olasse symmetrischer Determinanten, Math. 
Ann. Bd. 16, GEGENBAUER, Über eine specielle symmetrische Determinante, 
Wiener Ber. 1880, Pucnta, Ein neuer Satz aus der Theorie der Deter- 
minanten, Wiener Denkschriften Bd. 43 behandelt. Die allgemeine For- 
mel für die Determinante einer commutativen Gruppe hat DEDEkIND 
im Jahre 1830 bei Gelegenheit der Eingangs erwähnten Untersuchung 
über Gruppendeterminanten durch Multiplication der Determinanten 
x (R)| erhalten. Wie ich aus dem 25. Bande der Fort- 
\2»-| und |% 
schritte der Mathematik, S. 220 ersehe, hat Burssipe in der (mir nicht 
zugänglichen) Zeitschrift Messenger of Math. (2) XXIH, p.ı12 in einer 
Arbeit On a property of certain determinants ebenfalls diese Formel 
hergeleitet. 
$ 7: 
Die bisher entwickelten Sätze und Formeln behalten alle ihre 
Gültigkeit, wenn man den Begriff der Classe, auf dem sie fussen, 
weiter fasst. Ist die Gruppe 59 eine invariante Untergruppe einer 
anderen Gruppe $, so mögen zwei Elemente R und R' von 9 con- 
Jugirt heissen (in Bezug auf 5), wenn es in 5 ein Element 7 giebt, 
das der Bedingung 
(1.) R' = T-RT 
