Frogenıus: Über Gruppencharaktere. 1007 
genügt. Sei T ein bestimmtes Element von 5. Dann entspricht auf 
Grund der Gleichung (1.) jedem Elemente R von 5 ein Element R 
von 9. Durchläuft $ alle Elemente von 9, so durchläuft auch R’ 
dieselben, nur in einer anderen Reihenfolge. So erhält man einen 
Isomorphismus von 9 in sich, und zwar jeden möglichen, indem man 
die Gruppe 5 und darin das Element T passend wählt (Über endliche 
Gruppen $ 5, Sitzungsber. 1895, 8. 22). 
Seien A, B und P Elemente von 9, und sei B= P"AP eon- 
jugirt mit A in Bezug auf 5. Dann sind auch A’ und B’—= PA’P' 
conjugirt in Bezug auf 5, und umgekehrt. Durch jenen Isomorphis- 
mus gehen also die Elemente einer Classe («) in die Elemente der- 
selben oder einer anderen Classe (8) über. Für zwei solche Classen, 
die ich conjugirte nennen will, ist daher A,—= h;. Vereinigt man also 
jetzt alle Elemente von 9, die einander in Bezug auf 5 conjugirt 
sind, zu einer Classe, so ist die Anzahl der neuen Classen X<k, und 
jede neue Classe (e)' entsteht durch Vereinigung einer gewissen An- 
zahl r von conjugirten alten Classen (&), (8), (y), :--. Sie enthält, da 
MR ist 
(2.) —=h.theth,t-- —=rie 
Elemente von 9. 
Die k Grössen %> Xı> ''" %r_ı, die einen Charakter % bilden, sind 
bis auf einen gemeinsamen Factor f dadurch bestimmt, dass 
(3-) f& ——= >3 ReXa Ir 
ein Linearfaetor der Determinante © ist. Ebenso ist jeder neue Cha- 
rakter % dadurch bestimmt, dass 
fe =Elige, 
ein Linearfactor einer analogen Determinante ©’ ist. Diese geht aus 
© hervor, indem man für je r conjugirte Classen («), (P),(y),--- , 
die sich zu einer Qlasse (p) vereinigen, „=, =1,= =. setzt. 
Mithin ist 
ix = = (haXa + RX + hyXy + :--) 
oder nach (2.) 
(4.) ER Wet tt). 
Ist X ein Element einer jener r Classen, so kann man diese Gleichung 
auch durch 
(5.) en 
Be, I un vr - 
PX ()— m AR) 
ersetzen, wo U die sämmtlichen 7 Elemente von 5 durchläuft. Denn 
