Frosenivs: Über Gruppencharaktere. 1009 
Die letzte Summe ist nämlich gleich 2%((UT)"R(UT)), unterscheidet 
sich also von der ersten nur durch die Reihenfolge der Summanden, 
da UT zugleich mit U alle Elemente von 5 durchläuft. 
Umgekehrt müssen zwei Charaktere % und X, die denselben Cha- 
rakter % erzeugen, stets conjugirt sein. Es muss also, wenn die 
Gleichung (7.) besteht, ein solches Element 7 in 5 geben, dass 
Y(R)=y(T"RT) ist für jedes Element R von 9. Denn aus jener 
Gleichung folgt 
3 3 x(UMRU)Y(RT) — 3 3 W(UTRU)W(R). 
- 
U U 
Sei U ein bestimmtes Element von 9. Ist dann V(U"RU) = \U(R) 
für jedes Element R von 9, so ist nach (6.) 3 Y(UTRU)L(RT) eine 
positive von Null verschiedene Grösse. Dieser Bedingung genügt jedes 
Element U von 9, das in 5 enthalten ist. Ist sie aber nicht erfüllt, 
so ist WV(U"TRU)=Y(R) ein von Y(R) verschiedener Charakter, und 
mithin verschwindet diese Summe nach Gleichung (10.), $5. Die 
rechte Seite der letzten Gleichung hat also einen von Null verschiedenen 
Werth, und mithin auch die Summe auf der linken Seite. Nun ist 
aber, falls wieder U ein bestimmtes Element von 5 und R ein ver- 
änderliches Element von 9 ist, (UTRU)—=S(R) ein Charakter. Ist 
dieser von Y(R) verschieden, so ist 3 %(U"RU)VR?) —=(. Mithin 
kann $ nicht für jedes U von X verschieden sein, es muss also ein 
Element U=T geben, für das y(T"RT) = Y(R) ist, und folglich sind 
%, und \" conjugirte Charaktere. 
In der Summe (5.) finden sich alle mit x conjugirten Charaktere 
und jeder gleich oft. Denn diejenigen Elemente U von 5, die der 
Gleichung „(UT"RU)=y(R) für jedes Element R von 9 genügen, 
bilden eine in 5 enthaltene Gruppe, die 5 enthält. Daher ist die 
Anzahl s der Charaktere „9, 49,49, --- die mit % conjugirt sind, 
ein Divisor von 7 und man kann jene Gleichung auch auf die Form 
I 1 
(S.) X — ale.) 
bringen. Die Formeln (4.) und (8.) stellen die beiden verschiedenen 
Arten vor Augen, wie man sich die Entstehung der neuen Charaktere, 
die ich die relativen Charaktere von 9 in Bezug auf 5 nennen will, 
aus den alten denken kann. 
Wenn beim Übergange von © zu © mehrere verschiedene lineare 
Factoren £,y, :-: von ® einander gleich werden, so entsprechen sie con- 
jugirten Charakteren %,\%, --- und umgekehrt. Daher haben die Po- 
tenzen von &,9,:::, die in © aufgehen, alle denselben Exponenten g. 
