Frosenivs: Über Gruppencharaktere. 1013 
A 120) 
x) 2 x@) x“) x) x) 
Xo 1 5 b) 4 4 6 1 1 
ee a ro NE 4 
3 1 1 —1 2; O1] 10 
X3 1 —ı =il 1 1 0 1 20 
Xı 1 1 0 0 0221 30 
NE 1 0 0 —1 —— 1 1 24 
et een ee re 
Auch für die symmetrische Gruppe n“" Grades 5 sind alle Cha- 
raktere ganze rationale Zahlen. Der Grund davon liegt darin, dass 
R und R° stets in 5 conjugirt sind, wenn a zur Ordnung von R 
theilerfremd ist. 
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Um noch ein allgemeineres Beispiel durchzuführen, wähle ich die 
Gruppe 9 der Ordnung 
(1.) h=zp(p-1) 
die von den linearen Substitutionen 
y+oa 
(2.) y=,2 er (mod. p) 
der Determinante 
(3-) a—Pey=l (mod. p) 
gebildet wird, falls p eine ungerade Primzahl bedeutet. Ihre Eigen- 
schaften, die hier in Betracht kommen, sind am ausführlichsten von 
GIERSTER, Die Untergruppen der Garoıs’schen Gruppe der Modularglei- 
chungen für den Fall eines primzahligen Transformationsgrades, Math. Ann. 
Bd.ı8, S. 319 abgeleitet. Dieser interessanten und wichtigen Arbeit 
entnehme ich die folgenden Resultate: 
Die % Elemente der Gruppe $ zerfallen in 
(4.) k=;(p-1)+3 
Classen eonjugirter Elemente. Die von dem Elemente E gebildete 
Hauptelasse möge nicht, wie in der allgemeinen Theorie, mit (0), 
sondern mit (A) bezeichnet werden. Die Elemente der Ordnung p 
bilden zwei Olassen, die ich auch nicht mit Ziffern, sondern mit den 
Buchstaben (u) und (v) bezeichnen werde. Seien P und Q zwei nicht 
conjugirte Elemente der Ordnung p. Ist a ein quadratischer Rest von 
p und 5 ein Nichtrest, se ist P* mit P conjugirt, P’ nicht. Ist daher 
p=3 (mod. 4), so sind (v) und (v) inverse Classen, und man kann 
Q= P" wählen. Ist aber p=1(mod.4), so sind P und P” conju- 
