Frogeniws: Über Gruppencharaktere. 1015 
variante +x, sie möge mit (x) oder auch mit (+x) bezeichnet werden 
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url Sarser £7 ) Setzt man 
a 
®—1 —] 
. x — ’ &0 — — 10 E20, 
9, ; ( p ) ; (a) 
so ergeben sich für die Anzahl der Elemente jeder dieser % Classen 
die Formeln 
mon = Mel): k=zp(p+:), „=Pp(p+s,). 
Die Elemente der Classen (w) und (v) haben alle die Ordnung p. 
Die Classe (0) besteht aus allen Elementen von 5, deren Ordnung 
gleich 2 ist. Ihr etwas abweichendes Verhalten gegen die anderen 
Classen (x) erklärt sich daraus: Ist A ein Element der Classe (x), 
so sind A und A” zwar conjugirt aber verschieden. Ist aber x = 0, 
so sind diese beiden Elemente gleich. Hat AR“ nicht die Ordnung 2 
(oder 1), so sind die +(p-1) Potenzen von R die einzigen Elemente 
von 9, die mit AR” vertauschbar sind. Mit der Gruppe dieser Po- 
tenzen ist aber noch ein Element 7’ der Ordnung 2 vertauschbar, 
das der Bedingung T"RT=R genügt. Das Analoge gilt von $”. 
Hat aber R° (bez. 5’) die Ordnung 2, so ist ausser den Potenzen 
von R auch noch 7 mit AR? vertauschbar. 
Ist <’—1 quadratischer Rest von p, also „=+1, so ist die 
Ordnung eines Elementes der Classe (x) der Exponent, zu dem 
(x +Vx’—1)? (mod. p) gehört, also ein Divisor von ;(p-1). Ist aber 
#°—1 Nichtrest, also ,—=-]1, so ist diese Ordnung der Exponent, 
zu dem a” (modd. p, &°—- 22x +1) gehört, also ein Divisor von (p +1), 
demnach in beiden Fällen ein Divisor von !(p-s,). Umgekehrt ist 
daher für die Classe, der R* angehört, e,—= +1, und für die Classe, 
der S’ angehört, 2» —=-1. Nach (5.) zerfallen die Elemente, deren 
Ordnung aufgeht in 
(11.) a 1), nealpe) alle) 
Classen, und die, deren Ordnung aufgeht in 
(12.) „lpeet), ins (De) 
Classen. Dabei ist das Hauptelement ausgeschlossen. Oder anders zu- 
sammengefasst: Es zerfallen die Elemente, deren Ordnung aufgeht in 
(13.) :(p-9, in «(p-2) 
Classen, und die, deren Ordnung aufgeht in 
(14.) (p+9), in s(p=2)-3(1-e) 
Classen. Ist +x die Invariante einer Classe, so will ich ihren Index 
