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Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. 
Von GG. FRoBENIUS. 
Di Theorie der Charaktere einer Gruppe. deren Grundlagen ich in 
meiner letzten Arbeit entwickelt habe, erfordert zu ihrer weiteren Ausge- 
staltung die Untersuchung einer Determinante, deren Grad der Ordnung 
der Gruppe gleich ist. Nach dem Vorgange von DEDEkIınD, der zuerst 
ihre Bedeutung für die Theorie der Gruppen erkannt und meine Auf- 
merksamkeit auf sie gelenkt hat, nenne ich sie die der Gruppe entspre- 
chende Gruppendeterminante. Die h Elemente A, B,C,... der Gruppe 9 
benutze ich als Indices für % unabhängige Variabele x,. 25. %&e. 
Indem ich diese Bezeichnung wähle, treffe ich die Festsetzung, dass. 
wenn L = MN ist, auch xı, = 
die durch einen Index von einander unterschieden sind, bilde ich 
Xyry sein soll. Aus diesen h Grössen, 
h” Grössen, die mit zwei Indices versehen sind, indem ich 229 = !pg-ı 
setze. Sind @,. @,,:-: @, die ih Elemente von 5 in irgend einer be- 
stimmten Reihenfolge, so betrachte ich die Matrix (x ,) = (X9-ı), deren 
h Zeilen man erhält, indem man für P der Reihe nach die % Elemente 
G,. @,,:-- @, setzt, und deren A Spalten man erhält, indem man für 
() dieselben A Elemente in derselben Reihenfolge setzt. Diese Matrix 
besitzt gewisse, durch die Constitution der Gruppe 5 bedingte Sym- 
metrieeigenschaften. In jeder Zeile finden sich die 4 Variabelen sämmt- 
lich und ebenso in jeder Spalte. Die verschiedenen Zeilen (Spalten) 
unterscheiden sich von einander nur durch die Anordnung der Varia- 
belen. Die Gruppendeterminante, die der Gruppe 9 entspricht, ist 
die Determinante dieser Matrix 
9 [2,4] = |®2e-i|- 
Addirt man zu den Elementen der ersten Zeile die aller anderen 
Zeilen. so werden jene Elemente alle gleich 3x, — £. Daher ist die 
ganze Funetion h“" Grades © der Ah Variabelen w,. 3, ®c,--- durch 
die lineare Function £ theilbar. Mithin zerfällt ©, von dem trivialen 
Ss 
Falle A = 1 abgesehen, stets in Faetoren niedrigeren Grades. Die An- 
zahl % der verschiedenen irredueibelen Facetoren oder Primfactoren von 
