Frosexıus: Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. 1347 
die analoge Relation 
(9.) $(2) = (x) P(y), wenn (2) = (x) (y) 
ist, durch welehe die Function ® unabhängig von ihrer Beziehung 
zur Gruppendeterminante © charakterisirt werden kann. Denn zerlegt 
man die rechte Seite der Gleichung (8.) in Primfaetoren, so folgt 
daraus, dass ®(2) in das Produet einer Function A(x) der 4 Variabelen 
“., allein und einer Function M(y) der h Variabelen y, allein zerfällt. 
Setzt man dann in der Gleichung ®(2) = A(x) M(y) Yr= &r, So wird 
Zr = Ir, Also ®(x) = Al(a) M(e). Ebenso ist M(y) = Ale) $(y) und 
A(e) M(e) = (ec) —=1. 
Umgekehrt muss jede unzerlegbare ganze homogene Function ® von 
Xp, &4, &g,°°-, die der Bedingung (9.) genügt, ein Factor der Gruppen- 
determinante ®(x) sein. Denn setzt man in dieser Gleichung für (y) 
die zu (x) adjungirte Matrix, so wird 2,2 = ,®(x), also 
$(2) = O (a = #(x)$(y), 
wo y, eine ganze Function der Ah Variabelen .w, ist. Daher muss die 
Funetion ®(x), weil sie unzerlegbar ist, ein Factor von ®(«) sein. 
Mit Hülfe der Relation (9.) lassen sich alle Eigenschaften der De- 
terminanten, die aus dem Multiplicationstheorem fliessen, auf die Prim- 
factoren der Gruppendeterminante übertragen, namentlich die Eigen- 
schaften, welche ich in meiner im Folgenden mit V. eitirten Arbeit 
Über vertauschbare Matrizen (S.601 dieses Bandes) entwickelt habe. 
Jeder Primfactor ®(x) der Gruppendeterminante genügt der Be- 
dingung 
(1.) »(2) = b(a)&(y), 
falls 
(2.) 2: = 30,45 (AB=() 
gesetzt wird. Mit Hülfe dieser Beziehung lassen sich die linearen 
Factoren - 
(3.) 2a) = Ixld)e, 
vollständig bestimmen. Denn aus der Gleichung 
erde) Exl By) = (ExlO)2) = Ex(AB)e,y, 
ergiebt sich für die Coeffieienten (A) dieser Funetionen die Relation 
(4.) x(AB) = x(A)x(B). 
