1348 _ Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 3. December. 
Mithin ist „(E)=1, 4(A)y(A”) = 1 und allgemeiner „(ABCD...) 
— y(A)y(B)u(C)u(D)---, und folglich 
x(B’A"BA) = x(BF)X(AT)x(B)X(A) — 1. 
Das Element F, das sich mittelst der Gleichung 
(5.) BA = ABF 
aus A und B ergiebt, nenne ich nach Devexısp den Commutator von 
A und B. Demnach ist %(F) — | für jeden Commutator F von irgend 
zwei Elementen der Gruppe 9. Ist 7 ein beliebiges Element von 9, 
und ist 
TED T2B1B, TRIEB 
so ist auch BA’ = AB’F. Ist also F ein Commutator, so ist auch 
jedes mit F conjugirte Element F’ ein soleher. Theilt man die Ele- 
mente von 5 in Classen conjugirter Elemente, so werden die Commu- 
tatoren von den sämmtlichen Elementen einiger dieser Classen gebildet. 
Die von ihnen erzeugte Gruppe © ist daher eine invariante Unter- 
gruppe von 9. (Sie kann auch gleich 5 sein oder auch gleich der 
Hauptgruppe €, das letztere stets und nur dann, wenn 9 eine commu- 
tative Gruppe ist.) Ist @ ein Element von 6, so giebt es solche 
Commutatoren F, F', F”,... (die nieht verschieden zu sein brauchen), 
dass @ = FF’F”--- ist. Daher ist 4(@) = WF)uF)uIFN):- =1. 
T al 
Nun sei 5 644 6B+6CH-.-, 
seien also A, B,C,--: die (mod. 6) verschiedenen Elemente von 9. 
: h 
Ihre Anzahl ist —, wenn g die Ordnung von © ist. Die 5 Complexe 
6A = AG, 6B = B6,--- bilden eine Gruppe, die mit 5 bezeichnet 
5 ST - RE NAE f 
wird. Ist & die Commutatorgruppe, so ist 6 ine commutative (ÄBEL- 
R) an DLR > Se 
sche) Gruppe. und damit ©, ne commutative Gruppe sei, ist noth- 
wendig und hinreichend, dass 6 durch die Commutatorgruppe theilbar 
ist. Denn sind $A und &B zwei Elemente von ©. giebt es in & 
ein solches Element F, dass BA —= ABF ist, also auch GBA = GABF. 
Nun ist GABF = (6A)(6B)(6F) und 6GF = 6, also 
(6B)(6A) — (6A)(GB). 
Diese Eigenschaften der Commutatorgruppe hat Depekınn im Jahre 
ı880 gefunden. Veröffentlicht aber sind sie zuerst von Mırzer, The 
regular substitution groups whose order is less than 48. Quarterly Journal 
of Math. 1896, vol.28, p. 266. 
Ist G@ irgend ein Element von ©, so ist „(@A) = v(@)y(A) = WA). 
Daher hat y(R) für alle Elemente R des Complexes &A denselben 
