Frosenius: Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. 1349 
Werth. Mithin kann man auch die Zahl %(A) dem Complexe GA 
zuordnen. Da diese Complexe eine commutative Gruppe bilden, und 
die ihnen zugeordneten Zahlen %(A) die Eigenschaft (4.) haben, so 
bilden die Zahlen %(A),%(B).%(C).-- einen Charakter der commu- 
ß >) FE s Se h 
tativen Gruppe Für eine solche giebt es bekanntlich immer — ver- 
6 
schiedene Charaktere, deren Werthe sämmtlich Einheitswurzeln sind. 
Ist U einer derselben, und setzt man für jedes in dem Complexe GA 
enthaltene Element R 4(R) = (6A), so ist für jedes Element @ der 
Gruppe & (@) = 1, und es gilt für je zwei Elemente von 9 die 
Gleichung (4.). Ferner ist dann die Funetion (3.), deren Coeffieienten 
diese Werthe (A) sind, ein linearer Factor der Gruppendeterminante ©. 
Denn setzt man y% = %4(R) az. so ist 
Ipg-ı = x( PQ) Vpg-ı > x(P) x( Q=) Dpg-ı 7 
und mithin ist |yrg-ı| = |X74-|- Diese Determinante enthält aber den 
Factor 3Zy,; = 3%(R)zz = ®, und zwar nur in der ersten Potenz. 
Denn addirt man die Elemente aller Zeilen zu denen der ersten Zeile, 
so werden dieselben alle gleich &y, = ®, und wenn man dann den 
Factor ® aufhebt, alle gleich 1. Zieht man nun die Elemente der 
ersten Spalte von denen der folgenden ab, so erkennt man, dass ©:® 
nur von den Differenzen y»—y, abhängt. Mithin kann dieser Quotient 
nicht noch einmal durch die Summe 3y, theilbar sein. 
Folglich ist die Anzahl der linearen Factoren der Gruppendeter- 
minante gleich dem Quotienten aus der Ordnung der Gruppe und 
der Ordnung ihrer Commutatorgruppe. und jeder lineare Factor ist 
nur in der ersten Potenz in © enthalten. 
Diesen Satz hat Devekımp durch Induction gefunden. Einen Linear- 
factor, nämlich 3,. giebt es immer. Der entsprechende Charakter, 
4(R) = 1 für jedes Element R, heisst der Hauptcharakter. Ist & — 9, 
so giebt es keinen anderen Linearfactor. Dies muss stets eintreten, 
wenn $ eine einfache Gruppe ist, deren Ordnung eine zusammen- 
gesetzte Zahl ist. 
3 3- 
Man wähle jetzt eine beliebige ganze Zahl f<A und versuche 
eine ganze Function f'”" Grades ® der h Variabelen x;, ©,, %, 
zu bilden, die der Bedingung (9.) $ı genügt. In dieser muss der 
Coeffieient von x gleich 1 sein. Denn setzt man y2 = &;, so wird 
Zr %r, also Plx) = P(x)®(e), und mithin ist #(e) = 1. (le) ist aber 
der Coeffieient von @/in ®(x). Ich bezeichne nun. wenn R von E ver- 
schieden ist, den Coeffieienten von a/'x, in ®(x) mit %(R), setze aber 
