Frogenius: Über die Primfaetoren der Gruppendeterminante. i893 
(13.) x(AB) = x(BA). 
Theilt man also die 4 Elemente von 9 in Classen eonjugirter Elemente, 
so hat (A) für alle Elemente R einer Classe denselben Werth. 
Nunmehr wende ich mich zur Berechnung der Funetionen ®, mit 
Hülfe der Formel (8.). Zunächst ist nach (6.) 
% = — Dyx(A): TC: 
2, = 5-5 = E(x(Ax(B)-x(AB))e,2, 
nr a0) x(B) x(C) -x(A) x(BO) -x(B)x(AC) 
x(E)x(AB) + x(ABC) +x(ACB))®,%,%.. 
Ich setze daher 
(14.) x(4, B) = x(A)x(B)—-x(AB) 
er) = ER B)x(C) - x(A)x(BC) - x(B)x(AC) 
(C)x(AB) + x(ABC) + x(ACB). 
Dieser Ausdruck ist symmetrisch in ni C, weil x(ABC) bei cey- 
klischer Vertauschung der Elemente A, B,C nach (13.) ungeändert 
bleibt. Das allgemeine Bildungsgesetz ER Coefficienten der Function 
(15.) n!®,(x) = 5 x(R, 2 BR KR R,) Tg, %p, Dr 
RR, R, 
ist etwas complieirtt: Seien A,B,C,D,F,G,H,...L,M irgend 
n verschiedene oder gleiche unter den A Elementen von 9. Man 
bilde die n! Permutationen von n Symbolen und zerlege jede der- 
selben in eyklische Factoren. Setzt man dann für die n Symbole 
die n Elemente A,B,C,... L,M, so sei etwa 
(16.) (ABCD)(FGH)..-. (LM) 
n 
eine dieser n! Permutationen. Man ordne ihr das Product 
(17.) +x(ABCD) x(FGH) ... x(LM) 
zu, wo das Vorzeichen + oder — zu wählen ist, je nachdem die Per- 
mutation (16.) gerade oder ungerade ist. In der Permutation (16.) 
bedeutet das Zeichen (FGH), dass die drei Symbole F,@, H cyklisch 
vertauscht werden sollen, in dem Ausdruck (17.) aber bedeutet FGH 
das Produet der drei Elemente F,@,H. 
Eine gegebene Permutation kann nur in einer Weise als Product 
von eyklischen Faetoren dargestellt werden. Doch kann man die ein- 
zelnen Cyklen beliebig anordnen und innerhalb eines jeden Cyklus, 
ohne dass er seine Bedeutung ändert, die Symbole eyklisch vertauschen. 
Andere Umstellungen aber sind nicht zulässig. So ist die Permutation 
(16.) gleich 
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