1354 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 3. December. 
(GHF) (ML) ::- (CDAB). 
In dem entsprechenden Producte (17.) sind aber dieselben Änderungen 
gestattet, denn g(ABCD) bleibt ungeändert, wenn man die Elemente 
A,B,C,D eyklisch vertauscht. Die Summe der den n! Permutationen 
entsprechenden n! Producte sei 
(18.) x(4,B,C,.-- L,M)=3"(+Ix). 
Diese Funetion bleibt ungeändert, wenn man die 2 Elemente 
Ar Br Ge 
beliebig unter einander vertauscht. Besteht die Permutation (16.) aus 
!Cyklen, so ist sie gerade oder ungerade, je nachdem n-/ gerade 
oder ungerade ist. Daher kann man auch schreiben 
(19.) -1Px(4, B,C,-- 2, M) = 2). 
2. B. ist, gleichgültig ob die durch A, B, C,_D bezeichneten Elemente 
verschieden sind oder nicht, 
(20.) dal z len OD) 
x(AxB)xLO)xCD) -xtB)x(C) x(AD) -xAxlO)x(BD) -x(A)x(B) x(CD) 
—-x(A)x(D)x(BC)-x(B)x(D)x(AC)-x(C)x(D)x(AB) 
+x(BC)x(AD) +x(AC)x(BD) +x(AB)x(CD) 
+x(A)x(BCD) + x(B)x(ACD) + x(C)x(ABD) + x(D)x(ABC) 
+x(A)x(BDC)+x(B)x(ADC)+x(C)x(ADB) +x(D)x(ACB) 
— x(ABCD) -x(ACBD)— x(BACD)- x(BCAD)— x(CABD)- x(CBAD). 
Ich bilde nun die Summe 
(IV SxXA, BC, LE, M) a, 8, 20 a8 
er ER 
worin jeder der » Summationsbuchstaben A, B, €, ... L, M unabhängig 
von den anderen die 4 Elemente von 5 durchläuft. Der Ausdruck 
(-1)"4(A,B,C,-.-: L,M) ist eine Summe von n! Producten II(-%). 
Die Permutation der n Symbole, aus welcher eins dieser Produete 
gebildet ist, möge aus a Cycelen von 1 Symbole, 5b von 2 Symbolen, 
c von 3 Symbolen u. s. w. bestehen, so dass «-+25+3c+...=n ist. 
Multiplieirtt man dann dies Product IL(-%) mit &4 % &--- &7 X und 
summirt, so erhält man nach (7.) 
a+b+c+- aa ab cc 
NH 
Dies Glied ergiebt sich so oft, als es Permutationen giebt, die sich in 
der angegebenen Art als Product von eyklischen Factoren darstellen 
lassen, also (Caucnv. Comptes rendus tom. 21, p. 604) 
n! 
1228 3°... alblel-.- 
Mal. Mithin ist die betrachtete Summe gleich 
