Frosentus: Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. 1367 
Daher verschwindet die charakteristische Determinante der Matrix (&) 
für die f+1 Werthev = 0,u,W, --- ü,. Weil nämlich die Gruppen- 
(leterminante ©(x) stets den linearen Factor 3 x,, und zwar nur in 
der ersten Potenz, enthält, so ist nothwendig A-ef>0, falls man den 
trivialen Fall A=1 ausschliesst. 
Nun sei @((&)) = 0 die Gleichung niedrigsten Grades, der die 
Matrix (£) genügt (V.$ ı, VD. Dann muss die ganze Function @(u), 
die ein Theiler der charakteristischen Determinante re: —Uepg-i | ist, 
für jede Wurzel der Matrix (£), also für jeden der f+1 Werthe 
uv—=0,u,%,, "u, verschwinden und mithin durch u®(&— we) theilbar 
sein. Da ferner die Matrix (%) mit jeder Matrix (x) vertauschbar ist, 
so ist nach (9.)$ 5 
ein eh : Be 2 An(m\in — 3 J n 
(7) &= (de) = are = x. 
Multiplieirt man daher die Relation (5.) $4 mit (x), so erhält man 
(8.) re ze DER 
wo nach (3.) 
(9.) 9, — (x) = #,(E) 
ist. oder kürzer 
(&) 8(@—-(&)e) = 0. 
Mithin ist u®(@—ue) durch G{w) theilbar, also gleich @(w), und 
folglich ist (S.) die Gleichung niedrigsten Grades, der die Matrix (£) 
genügt. 
Ohne die Relation (5.) $4 zu benutzen, kann man diesen Satz 
auch so einsehen: Die Funetion @(w) wird erhalten, indem man die 
Determinante A” Grades (£79-1—-Werg.) durch den grössten gemein- 
samen Divisor ihrer Unterdeterminanten (—1)"" Grades dividirt. Sind 
die A Variahelen , unabhängig, so folgt aus der Gleichung (1r.) 85, 
dass die Unterdeterminanten (R-1)'”" Grades von ©(z) alle durch ® (x) " 
theilbar sind. Daher sind die Unterdeterminanten von o(E- ue) alle 
durch ®(£-ue) " — #(w—ue)", also auch durch (w—w,)'", theilbar 
und nicht durch eine höhere Potenz: von u—w,. weil sonst O(E-ue) 
durch eine höhere als die e“ Potenz von vu—w, theilbar sein müsste. 
Mittelst derselben Sätze ergiebt sich aus den Gleichungen (9.), $5 und 
(6.), dass der Rang der Matrix (%) gleich ef ist, wie ich Ch. $5 aus- 
führlicher gezeigt habe. Daher ist auch der Rang der Matrix 
(10.) == TR 
ı Lı 
gleich ef. Folglich verschwinden A-ef Elementartheiler der charak- 
teristischen Determinante von (£) für «= 0, und weil das Produet 
Sitzungsberichte 1896. 120 
