1368 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 3. December. 
derselben nach (6.) gleich w'"” ist, so muss jeder von ihnen linear 
sein. Mithin enthält der grösste gemeinsame Divisor der Unterdeter- 
minanten (h—1)"" Grades jener Determinante den Factor u genau in 
der (h-ef—1)‘" Potenz, und demnach muss 
(-1)/ G(u) = u® (x — ue) 
sein. 
$ 9. 
Nach diesen Vorbereitungen wende ich mich nun zum Beweise 
des Fundamentalsatzes der Theorie der Gruppendeterminanten: 
Der Exponent der Potenz, worin die Gruppendeterminante einen Prim- 
‚factor enthält, ist dem Grade des Factors gleich. 
Den Fall f= 1 habe ich bereits in $ 2 erledigt. Wegen der 
Schwierigkeit des allgemeinen Beweises schicke ich noch die beson- 
deren Fälle f= 2 und 3 voraus. 
Ist f= 2, so ist 
(1.) 24(2) = S-S,, 
und der entsprechende Charakter % genügt den Relationen 4(A,B,C) = 0 
oder 
(2.) x(AXLB)xC)-x(A)xlBC)-X(B)x(AC)-x(C)x(AB)+x(ABC) +x(ACB) = 0. 
In dieser Gleichung ersetze ich B durch BC” und summire dann nach 
C über die % Elemente von 5 (oder man summire in (2.) über alle 
Elemente B, €, die der Bedingung BC — B’ genügen, wo B’ ein festes 
Element ist). Mit Hülfe der Formeln (7.) $5 und (3.) $7 findet man 
ll h h I 
„ A) x(B)-Ax(A)xtB)- x(AB)-xtAB)HAX(AB)+x(AxB) = 0, 
also weil /f = 2 ist, 
Daher ist e = f, weil nicht für je zwei Elemente 
x(A)x(B)-2x(AB) = 0 
sein kann. Denn sonst erhielte man, indem man diese Gleichung mit 
%,%, multiplieirt und nach A und D summirt, S}—-2S, — 0. Nach (1.) 
wäre also 4® — 8}, während ® unzerlegbar ist. 
Ist .— 9, ,50 Jist 
(3.) = NH -38%+28;, 
und der entsprechende Charakter genügt den Relationen %(A, BD, (,D) = 0 
((20.) $ 3). Ersetzt man darin € durch CD” und summirt dann nach 
D, so erhält man 
