Frosentus: Über die Primfaetoren der Gruppendeterminante. 1373 
Dann ist 
Een BEN re 
KRIEG, RIM M- 
Die %k verschiedenen Charaktere % unterscheide ich durch obere In- 
diees „9 («= 0,1,--- k-1l). Die dem Charakter 4) entsprechenden 
Matrizen (£) und () bezeichne ich mit (2) und (7). Sind dann x 
und A verschieden, so folgt aus (9.) $ 5 
(2) ENEN)=0, MARM)=0, (EI) 9) 0, (7) (ER) = 0. 
Nach Gleichung (5.) $ 7 ist 
& e\*) r 
Wr X —.e) 
und mithin 
SE) —il@)E 3 (19) =): 
Entwickelt man also das Product der % Matrizen 
II (ve) a v(7”) ai ()) 
nach Potenzen von ı, so erhält man 
wr(e) + wi (ale) ce e(Y)) 3 
während die übrigen Glieder nach (2.) verschwinden. Zwischen den 
Determinanten dieser Matrizen ergiebt sich daher die Beziehung 
ie) „) — aplilk— 
TURGESe  de |l)  Ema +we, 
Be | Erg- IQmur von | [4 20-1 Jap vo | 
(vergl. die analoge Entwicklung V. S.610). Irgend einer der k Fac- 
toren der linken Seite sei 
(4.) | Erg. + Ungap + Wepg |- 
Wie die rechte Seite zeigt, ist diese Determinante gleich einer Potenz 
von w, multiplieirt mit einer Anzahl der linearen Factoren va, +vb,+ w 
der Determinante (1). Andererseits kann man die Determinante (4.) als 
einen speciellen Fall der Determinante (1.) betrachten: Die Wurzeln der 
Matrix (Z) sind nach (5.) $8 die f Wurzeln ı, , %,, .-- u, der Gleichung 
®(c—ue) = 0, jede e Mal gezählt, und ausserdem (A-ef) Mal gezählt 
die Zahl 0. Ebenso sind die Wurzeln der Matrix (), die Zahl 0 und 
die Wurzeln v,,v,,...0, der Gleichung ®(y-ve) = 0. Daher ist die 
Determinante (4.) ein Product von linearen Faetoren au+bv+w, wo 
a eine der f+1 Grössen 0,%,,u,,...u, und b eine der f+1 Grössen 
0,0,,%,,...v, ist.. Eine Combination, wiea = u,b= 0, kann aber, 
wie die rechte Seite der Gleichung (3.) zeigt, nicht vorkommen. Ab- 
gesehen von einer Potenz von w enthält daher die Determinante (4.) 
