Frosenius: Über die Primfaetoren der Gruppendeterminante. 19.705 
Auf diesem Wege erlangt man eine tiefere Einsicht in den Grund der 
merkwürdigen Erscheinung, dass die Gruppendeterminante jeden Prim- 
factor in einer Potenz enthält, deren Exponent dem Grade des Factors 
gleich ist. 
Von besonderem Interesse ist der specielle Fall, wo y; = — x; ist. 
Dann ist die Determinante 
(8.) [Fre Fr t weg] — a lE 
wo 
(9.) ; pi m (w - (us— %.)?) 
und = 
(10.) Ss 2 
ist. Der Gleichung Y — 0 genügen also die Quadrate der Differenzen 
der Wurzeln der Gleichung ®(«—-we) — 0. Ich will nun zeigen, dass 
die für w= (0 verschwindenden Elementartheiler jener Determinante 
alle linear sind, oder, was dasselbe ist, dass der Rang r der Matrix 
(I 1%) (pg a ®-1p) 
gleich 
272.) r=h-s 
ist. Nach Formel (8.) ist r2h-s. Da die beiden Matrizen (x) und 
(x) mit einander vertauschbar sind, so ist 
ae = Sn an =» z, (RS — 4A) 
oder 
B — ap .s — Sa, Ur 
also 
n (Bu) —) 
Setzt man für A der Reihe nach alle % Elemente von 9, so ist 
(13.) > ur era) Yr 9 
ein System von A linearen Gleichungen zwischen den A% Unbekannten 
Yr- Der Rang der von ihren Coeffieienten gebildeten Matrix ist r. 
Mithin bildet das vollständige System ihrer Lösungen eine Matrix vom 
Range hA-r, und der Rang irgend eines Systems ihrer Lösungen, z. B. 
des Systems 
De (n = 0,1,2,.--) 
FE 
ist Sh-r. Enthält die charakteristische Determinante |Br91— uergl| 
der Matrix (x) irgend einen Linearfactor u—w, in der e" Potenz, so 
enthält ihn nach $ S der grösste gemeinsame Divisor ihrer Unter- 
determinanten (A—1)“" Grades in der (e-1)"" Potenz. Folglich ist die 
