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Frosenivs: Über die Primfaetoren der Gruppendeterminante. 1379 
In derselben Weise ergiebt sich die allgemeinere Formel 
Bra! ze } 2 An Ans g 
-(7) ar) r@y): Eee 
wo Y(x,y) dieselbe Bedeutung hat, wie in der Gleichung (6.) $ 10. 
(10. ) Erg-ı + Ng-1r 
Sarz: 
Die Ermittlung der % Primfaetoren, worin die Gruppendeter- 
minante zerfällt, ist auf die Bestimmung der Constanten 4% zurück- 
geführt, die von der Auflösung einer Gleichung 4" Grades abhängt. 
Ich will nun die algebraische und arithmetische Natur dieser Grössen 
näher untersuchen. Zunächst bestimme ich den algebraischen Körper. 
dem diese Zahlen angehören. 
Sei & eine Untergruppe von 9, 9 ihre Ordnung, sei A= gn 
und H die zu & gehörige Gruppendeterminante. Seien #,A,B, 
die g Elemente von ©, und Z,M,--- die nicht in © enthaltenen 
Elemente von 9. Setzt man dann in ® die Variabelen x; , 4: :-- 
alle gleich Null, so wird, wie ich Ch. $ 7, (10.) gezeigt habe, 
(mu) Or. Er 
Daher sind die Coefficienten derjenigen Glieder von ©, die nur von 
Op, &y; &%p,: abhängen, den Coefficienten der entsprechenden Glieder 
von H" gleich. 
Ist & eine commutative Gruppe, so ist H ein Product von g li- 
nearen Factoren 
Hr nl (R)x,) )(Zuw, (R)z,) 
und die Charaktere 4, (R),\;(R),:-: sind alle vom ersten Grade, also 
Einheitswurzeln. Speeiell ist Y(Z)=4,(E)= ---—=1. Ist demnach 
® ein Primfaetor f"" Grades von ©, so wird diese Funetion, wenn 
man darin &;, =4y=''—=0 setzt, gleich dem Producte von f dieser 
linearen Factoren, etwa 
(2.) 8 —= (Zu (R)e,) St,(R)e,) (zZ V,(R)e,). 
Ersetzt man x, durch x2,;—u, so as man, dass die f Wurzeln der 
Gleichung ®(@x-ud)=0, falls man , =4iy, =: =0 setzt, ganze 
lineare Functionen der Variabelen x;, x. &z.:: werden, etwa 
> SEE Bl, 
(3-) EN = y,(R) Un ( un) 
deren Coeffieienten Einheitswurzeln sind. Ist also A eins der Elemente 
von ©, so ist der Coeffieient von a4; "x, in ®(x) gleich 
(4.) x(A)=u(ArWb,(A)+.- + WA), 
und diese Gleichung gilt auch für A=E. Sind ferner A und B 
