1350 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 3. December. 
zwei Elemente von ®, so ist, weil X, ein Charakter ersten Grades 
st, DW, (AB) = U,(A)W,(B) und mithin 
(5.) x(AB) = w,(A)w, (B) + W,(A)w,(B)+ + + W,(A)w,(B). 
Daher hat die Matrix (x(PQ°)), die für die Gruppe 5 den Rang ef 
hat, höchstens noch den Rang f, falls P und @ nur die Elemente 
von © durchlaufen. 
Ist A irgend ein Element von 9, und m seine Ordnung, so bil- 
den die Potenzen von A eine commutative Gruppe der Ordnung vn. 
Wählt man diese für 6, so werden die m Charaktere \,(A) = p,, 
W(A) = pa,:-- alle m‘ Wurzeln der Einheit. Mithin ist 
(6.) xA)=AtRt+t + p xA)=AtrAr te 
für jeden Werth von n. Für n = m-1 folgt daraus, dass %(A) und 
(A) eonjugirt complexe Grössen sind (U. $ 3). 
Ist A ein Element der m“ Ordnung und %, ein Charakter f"" Grades, 
so lässt sich (A) als eine Summe von f m" Wurzeln der Einheit dar- 
stellen. 
Dieselben sind einzeln dadurch bestimmt, dass %(A”) gleich der 
Summe ihrer n'" Potenzen ist. Setzt man in ® alle Variabelen gleich 
NullP ausser 2, 04: 2,2, 22 20m, son wind machr(2r) 
PD oe: Re )a2o (sr Ayla es ae +...+ FF Kymaı): 
Setzt man daher in ® alle Variabelen gleich Null, ausser x, und 
sSomwiard 
(7-) 22, 2,,0,0,0:)= (0, + p,%,) at R,2,) at pr) 
und mithin nach (9.) $4 
8) HN +2,(A) = (ut p)u+p,) (ut p)). 
Speciell ist, da 3,(4) = S(A) ist, 
(9.) S(A) = pp, °P 
Wendet man die Formel (1.) auf die Gruppe © an, die von den Po- 
tenzen von A gebildet wird, so erhält man 
h 
DE (H ko er ar ae a 2,01) FR 
wo co alle mm“ Wurzeln der Einheit durchläuft. Setzt man also in © 
alle Variabelen gleich Null, ausser w, und w,. so wird 
h 
ss © (24, 24,030.) = (+ Cap)" 
Folglich ist. wie ich in $3 auf anderem Wege gezeigt habe, der 
Coeffieient von «', in © gleich 
un) ns(A=(1i) ". 
