Frogenius: Über die Primfaetoren der Gruppendeterminante. 1381 
Sei B ein zweites Element von 5, und seien 0,,0,,''' 0, die f 
dem Charakter %(D) entsprechenden Einheitswurzeln, also 
(12) xB=n+to,+ +0, xB)=eoltoit..+e). 
Sind nun A und B mit einander vertauschbar, so erzeugen sie eine 
Gruppe &©. Daher kann man die Formel (5.) anwenden und erkennt: 
Die Einheitswurzeln der beiden Systeme lassen sich einander so zu- 
ordnen, dass 
13) KAB-Ant tg AB) re 
f 
wird. Setzt man in der Primfunction ®, die dem Charakter % ent- 
spricht, alle Variabelen gleich Null, ausser «;. x, und x,, so erhält 
man nach (2.) 
(14.) 225,2, 2755 0,0,- )—= (2, +22, +0,85) (+ Pkt ,%,), 
wodurch zugleich die Zuordnung der Einheitswurzeln bestimmt ist. 
Um für die entwickelten Sätze ein Beispiel zu geben, betrachte 
ich ein invariantes Element B der Gruppe 9. d.h. ein solches, das mit 
jedem Elemente R von 5 vertauschbar ist. In der Formel (3.) $ 7 ist 
dann R"BR = B,. und mithin, falls A irgend ein anderes Element 
von 9 ist. 
x(Ax(B) = fx(AB). 
Alle invarianten Elemente von 9 bilden eine commutative Gruppe ©. 
Setzt man für jedes Element @ derselben 4(G) = fi (@), so ist dem- 
nach für je zwei Elemente A und B von & Y(A)Y(B) = (AB). Mit- 
hin ist Y(@) ein Charakter von G, also eine Einheitswurzel oe. Ferner 
ist /(@") = Y(G)", also 4,(G) = fp und x(@") = fr". Für ein invariantes 
Element G@ von 5 sind folglich die f in der Formel (6.) auftretenden 
Einheitswurzeln alle einander gleich. 
Zu demselben Resultate führt die Bemerkung, dass ein invariantes 
Element A für sich allein eine Classe conjugirter Elemente bildet. 
Setzt man daher in ® alle Variabelen gleich Null ausser x, und «,. 
so wird ® nach Formel (7.) $6 die f"“ Potenz einer linearen Function 
von 2; und &,, und folglich ist nach Formel (7.) p = p = :-- = pr. 
Nun sei wieder A ein beliebiges Element von 9, und sei m seine 
Ordnung. Ist > eine primitive m“ Wurzel der Einheit, so sind die 
Grössen £,. Pa, °- px, in der Formel (6.) alle Potenzen von z, und daher 
ist (A) eine Zahl des Körpers A(p), der von allen rationalen Func- 
tionen von p gebildet wird. Unter den mit A conjugirten Elementen 
der Gruppe 5 können sich auch Potenzen von A befinden, A’, A’, A’ -. 
Ihre Exponenten sind zu m theilerfremd und bilden eine Gruppe, d.h. 
einer unter ihnen ist rs (mod. m), wenn r und s irgend zwei von 
ihnen sind. Da A und A’ eonjugirt sind, so ist (A) = %(A”), also 
