Einstein: Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie 149 



Der Skalar p der (mittleren) Verteilungsdichte kann a priori eine Funk- 

 tion der räumlichen Koordinaten sein. Wenn wir aber die Welt als 

 räumlich in sich geschlossen annehmen, so liegt die Hypothese nahe, 

 daß p unabhängig vom Orte sei; diese legen wir dem Folgenden zu- 

 grunde. 



Was das Gravitationsfeld anlangt, so folgt aus der Bewegungs- 

 gleichung des materiellen Punktes 



d'x„ ( ot/3 1 dx a dx & 



ds 1 \ v J ds ds 



daß ein materieller Punkt in einem statischen Gravitationsfelde nur 

 dann in Ruhe verharren kann, wenn g M vom Orte unabhängig ist. Da 

 wir ferner Unabhängigkeit von der Zeitkoordinate .r 4 für alle Größen 

 voraussetzen, so können wir für die gesuchte Lösung verlangen, daß 

 für alle x, 



9u = i (7) 



sei. Wie stets bei statischen Problemen wird ferner 



U« = 0, + = ,V 3 4 = ° ( 8 ) 



zu setzen sein. Es handelt sich nun noch um die Festlegung derjeni- 

 gen Komponenten des Gravitationspotentials, welche das rein räumlich- 

 geometrische Verhalten unseres Kontinuums bestimmen (g SI , y ZI . . . .g 33 ). 

 Aus unserer Annahme über die Gleichmäßigkeit der Verteilung der das 

 Feld erzeugenden Massen folgt, daß auch die Krümmung des gesuchten 

 Meßraumes eine konstante sein muß. Für diese Massenverteilung wird 

 also das gesuchte geschlossene Kontinuum der x, . x 3 . x 3 bei konstan- 

 tem .r 4 ein sphärischer Raum sein. 



Zu einem solchen gelangen wir z. B. in folgender Weise. Wir 

 gehen aus von einem Euklidischen Räume der £, , £, , £ 3 , £ 4 von vier 

 Dimensionen mit dem Linienelement r/cr; es sei also 



d<r*=d£l-t-d£l-t-äZl-t-d%l. (9) 



In diesem Räume betrachten wir die Hyperfläche 



#=£+£+£+£, ' (10) 



wobei R eine Konstante bedeutet. Diese Punkte dieser Hyperfläche 

 bilden ein dreidimensionales Kontinuum, einen sphärischen Raum vom 

 Krümmungsradius R. 



Der vierdimensionale Euklidische Raum, von dem wir ausgingen, 

 dient nur zur bequemen Definition unserer Hyperfläche. Uns inter- 

 essieren nur die Punkte der letzteren, deren metrische Eigenschaften 

 mit denen des physikalischen Raumes bei gleichmäßiger Verteilung der 

 Materie übereinstimmen sollen. Für die Beschreibung dieses dreidi- 



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