250 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 22. März 1917. — Min. vom 8. März 



Über die Starrheit der Eiflächen und konvexen 

 Polyeder. 



Von Prof. Dr. Hekmann Weyl 



in Zürich. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius am 8. März 1917 [s. oben S. 207].) 



E. 



Einleitung. 



is handelt sich im folgenden um die beiden einander korrespon- 

 dierenden Sätze. : 



Si/f: I. Ein konvexes Polyeder, dessen Seitenflächen starre, in den 

 Knuten durch Scharniere verbundene Platten sind, ist nur als Ganzes, nicht 

 aber in den Scharnieren infinitesimal beweglich. 



Satz II. Eine stetig gekrümmtt . geschlossene konvexe Flache laßt keine 

 infinitesimalen Verbiegungen :n. 



Für Satz I hat Cauchy 1 einen sehr durchsichtigen Beweis er- 

 bracht, der gleichzeitig das diesem "infinitesimalen« Theorem korre- 

 spondierende »endliche« liefert: 



1 Journal de l'Ecole Polytechnique, Cah. ib (1813), S. 87 — 98, oder Werke (2) 1. 

 S. 26 — 38. — An den letzten Schlüssen, die Cauchy zieht, ist eine kleine Korrektor 

 anzubringen, da die Einteilung der Polyederoherfläche in kantenbegrenzte Gebiete, auf 

 die er die EuLERSche Pulyedei formel anwendet, auch mehrfach zusammenhängende Ge- 

 biete liefern kann und demgemäß jene Ei/LERsehe Gleichung eventuell durch die zuge- 

 hörige Ungleichheit ersetzt werden muß. In dieser ist aber das oZeiehen so ge- 

 richtet, daß eintretendenfalls Oalchys Schlußiveise a fortiori den gewünschten Wider- 

 spruch ergibt. — Cauchv verwendet überall Ausdrücke, die der Vorstellung einer 

 infinitesimalen Bewegung entsprechen. Da er aber ausdrücklich die Folgerung I* 

 zieht, will er offenbar daneben diese Wendungen auch in dem Sinne eines Vergleichs 

 zweier Zustände verstanden wissen, zwischen denen kein kontinuierlicher Übergang 

 zu bestehen braucht: alle seine Schlüsse sind Wort für Wort richtig, ob man sie nun 

 so oder so interpretiert. — Satz I ist das 1 Thema einer ganz kürzlich erschienenen 

 Arbeit von M. Dehn (Math. Ann. Bd. 77. S. 466 — 473); sein Verfahren, das sich eben- 

 falls hauptsächlich im Felde der Analysis Situs bewegt, ist gewiß sehr scharfsinnig, 

 aber doch erheblich komplizierter als das Cauchys und läßt sich weder auf I* noch 

 auf 11 übertragen. Bei der geschilderten Sachlage muß ich Einspruch dagegen erheben, 

 daß Hr. Dehn des Beweises von Cauchy nur mit Bezug auf I* Erwähnung tut und 

 Satz 1 als etwas ganz Neues hinstellt (eher ließe sich noch das Umgekehrte vertreten !). 



