

H.Weyl: Über die Starrheit der Eiflächen und konvexen Polyeder U51 



Satz I*. Zini gleich zusammengesetzte konvexi Polyeder, deren ent- 

 sprechende Seitenpolygone kongruent sind, sind selber kongruent oder sym- 

 metrisch. 



Cauchts Beweis trägt das Gepräge der Analysis situs; die EuLERsche 

 Polyederformel spielt eine entscheidende Rolle. Ich werde liier zu 

 dem Satz I auf einem prinzipiell andern Wege gelangen, indem ich 

 mich lediglich solcher elementargeometrischer Überlegungen über kon- 

 vexe Polygone und Polyeder bediene, wie sie Minkowski in seiner 

 nachgelassenen Abhandlung "Theorie der konvexen Körper 1 « anstellt. 

 Dieser Weg wird mich freilich nur zu I, nicht auch zu I* führen, 

 dafür aber (bei richtiger Analogisierung) das die krummen Flächen be- 

 treffende Theorem II miterledigen. 



Die Richtigkeit von Satz II ist zuerst von H. Liebmann, dann auf 

 anderm Wege von W. Blasciike dargetan worden 2 . Blasciike machte 

 die fundamentale Bemerkung, daß jene homogene lineare Differential- 

 gleichung, auf welche Weingarten das Problem der unendlich kleinen 

 Verbiegung zurückgeführt hat, identisch ist mit derjenigen, die in 

 der BuuNN-MiNKOwsKischen Theorie von Volumen und Oberfläche die 

 beherrschende Rolle spielt. Daß aber diese Gleichung keine Lösungen 

 besitzt (außer gewissen selbstverständlichen, welche den Drehungen 

 der Fläche entsprechen), ist von Hilbert 3 in ganz analoger Weise wie 

 beim LiEBMANNschen Beweis dadurch gezeigt worden, daß die hypo- 

 thetische Lösung als Potenzreihe angesetzt und die niedrigsten nicht - 

 verschwindenden Glieder (die eventuell beliebig hoher Ordnung sein 

 können) diskutiert werden. Schöner und einfacher erhält man jedoch 

 dieses Ergebnis auf Grund der Symmetrie-Eigenschaften des gemischten 

 Volumens (die tiefer liegenden BRÜNN-MiNKOwsKischen Ungleichheiten 

 brauchen nicht herangezogen zu werden). Der so entstehende Beweis 

 von Satz II ist von den unnatürlichen Einschränkungen frei, die mit 

 der Potenzentwicklung verbunden sind, und bewährt, sich vor allem 

 dadurch, daß er eine unmittelbare Übertragung auf Polyeder gestattet. 



Ich veröffentliche diese Note, deren Gedanken, wie man sieht, 

 nur zum geringen Teil von mir herrühren^ um die Lösung des Problems 

 der infinitesimalen Verbiegung konvexer Gebilde einmal in der vollen 

 Harmonie, mit der das heute möglich ist, ab ovo auseinanderzusetzen: 

 zweitens aber auch, um mir eine sichere Grundlage zu schaffen für 

 die Darstellung weitergehender Untersuchungen, die sieb beziehen 



1 Ges. Abhandlungen Bd. II, Nr. XXV. S. 131 ff. 



2 Betreffs aller Literaturangaben verweise ich auf das schöne Buch von Blaschke. 

 Kreis und Kugel, 1916, S. 162 — 164. 



3 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Teubner 

 1912. Satz 50, S. 247. 



