ü. Wi.ii.: Über die Starrheit der Kiflächen und konvexen Polyeder 253 



Verschiebungsprozeß erhalten: so läßt sich der Inhalt der Gleichung (/S 2 ) 

 aussprechen. Ist %^ z. B. ein Fünfeck, so kann liier an Stelle von /•.''.! 

 jede der fünf Ebenen E" treten, deren Polygon $J3° längs einer Kante 

 an s 43? angrenzt. Diese fünf Ebenen E° zusammen mit E\ nenne ich 

 den »Ebenenverband« {E\). Es gilt demnach zu zeigen: 



Verschiebungssatz. Jeä\ der Ebenen E° erfahre >-inr Verschiebung in 

 Richtung ihrer Xormidni - von solcher Art. daß jeder Ebenenverband (E°) 

 auch durch eine einzige gemeinsame Parallelverschiebung i>, in seine Endlagi 

 übergeführt werden kann: Dann geht notwendig das ganze Ebenensystem 

 durch eine einzige Parallelverschiebung in seim Endlage über, d.h. alle b, 

 sind einander gleich. 



Das Bisherige ist rein formaler Natur. .Jetzt aber betrachten wir 

 das von den sich bewegenden Ebenen E, : umschlossene konvexe Poly- 

 eder .11, das von dem gegebenen Anfangszustand IT aus mit der Zeit £ 

 sich in gewisser Weise verändert. Dabei mögen die den Verschier 

 bungsprozeß bestimmenden Größen VF,- zunächst ganz beliebig sein. 



2. Sehen wir zu, wie die Veränderung des in der Ebene E l liegenden 

 Seitenpolygons %\ von II einem auf E t ruhenden Beobachter während 

 des Verschiebungsprozesses erscheint. Jede andere Ebene E : schneidet 

 E x in einer Geraden g ; . Da E t relativ zu Z£, sich in gleichförmiger 

 Translation befindet, bewegt sich jede dieser Geraden g t in der Ebene 

 E L mit gleichförmiger Geschwindigkeit — ich setze fest: senkrecht zu 

 ihrer eigenen Richtung. Solange e hinreichend klein ist, werden sicher 

 alle diejenigen Geraden g { , die zur Zeit an der Begrenzung von ^ 

 mit einer ganzen Strecke teilnehmen (ich heiße sie »Geraden I.Art«: 

 sie werden im Momente durch die Ebenen des Verbandes {E°) aus- 

 geschnitten) dieser Eigenschaft nicht verlustig gehen; ebensowenig 

 werden die Geraden, welche im Momente das Polygon überhaupt 

 nicht berühren, während einer gewissen Zeit aufhören, ganz außerhalb 

 des Polygons zu verlaufen. Es wird aber im allgemeinen auch solche 

 Gerade g°, geben, welche, durch eine Ecke von ^J3J hindurchgehend, nur 

 mit dieser Ecke zu seiner Begrenzung gehören. Relativ zu dem Winkel, 

 den die beiden-in dieser Ecke zusammenstoßenden Polygonseiten bilden, 

 erfährt eine solche Gerade eine gleichförmige Translation in der Weise, 

 daß sie für e > <• entweder beständig diesen Winkerraum (in einer linear 

 wachsenden Strecke) durchschneidet [Fall a] oder sich im Gegenteil 

 ganz von ihm ablöst und beständig weiter entfernt [Fall b]. Im Falle o 

 nennen wir sie eine »Gerade der 2. Art« : den Fall b erachten wir auch 

 dann als vorliegend, wenn die Gerade überhaupt relativ zu jenem Win- 

 kel in Ruhe verharrt (oder sich nur in sich verschiebt). Wir erkennen 

 aus dieser Betrachtung, daß man eine positive Zahl e, wählen kann, 

 so klein, daß für < e < s, die Begrenzung des Polygons %\ genau 



