li. Wem.: Über die Starrheit der Eiflächen und konvexen Polyeder 'J.)M 



Wählen wir den Nullpunkt im Innern des gegebenen Polyeders II . 

 so ist H?>0, und (7) kann nur dann mit den unter (6) verzeichneten 

 Ungleichheiten zusammen bestehen, wenn in allen diesen das Gleich- 

 heitszeichen gilt. Dann aber treten in keiner der Seitenebenen Gerade 

 2. Art auf; d. h. IT stimmt hinsichtlich Zahl. Lage und gegenseitigen 

 Zusammenhangs der Seitenflächen, Kanten und Ecken mit n" überein. 

 und jedes Seitenpolygon von II 6 entsteht aus dem entsprechenden von 

 N° durch die betreffende Parallelverschiebung eb. Deshalb müssen — 

 damit die Verbindung der Seitenflächen in den Kanten nicht zerreißt. — 

 alle b einander gleich sein; q-e-d. 



Krumme Flächen 1 . 



6. Läßt sicli eine Fläche in der Umgebung eines ihrer Punkte 

 p unter Benutzung eines geeigneten rechtwinkligen Koordinatensystems 

 xyz, dessen Nullpunkt in p liegt (und dessen .«-Achse in die Flächen- 

 normale fallen wird) in der Form z = f(xy) darstellen, wo /' zweimal 

 stetig differentiierbar ist und samt seinen beiden i . Ableitungen für 

 X = , y = verschwindet, so wollen wir sagen, daß die Fläche an 

 der Stelle p stetig gekrümmt sei. Ihre Krümmung daselbst ist positiv, 

 wenn die quadratischen Glieder, mit denen die Taylor-Reihe von /an 

 der Stelle (0 . 0) beginnt, eine definite Form bilden. Wir betrachten 

 hier eine solche konvexe Fläche, die überall stetig gekrümmt ist und deren 

 Krümmimg zudem positiv (nirgendwo 0) ist. Indem man z. B. die 

 obigen Koordinaten xy als Parameter u,v verwendet, erhält man bei 

 Rückgang auf ein festes (vom Punkte p auf der Fläche unabhängiges) 

 Koordinatensystem .r, x s x 3 eine Darstellung der Fläche in der Umge- 

 bung des Punktes p„ von der Gestalt 



r = r (« v) . 



wobei v. (mit den Komponenten .c, . .c, , x 3 ) den vom Anfangspunkt <> 

 nach dem variablen Flächenpunkt p sehenden Vektor bedeutet, die 

 rechts auftretende Funktion aber zweimal stetig differentiierbar ist und 

 der Regularitätsbedingung 



3t 9t 



3 u ' 3 v 



»einigt. Die partiellen Differentialquotienten bezeichne ich fortan in 

 bekannter Weise durch Indizes, z. B. 



3 t 3 t 



•5- = t„ , -5- = t, . 



da ov 



' Formeln, die im »Polyeder-Teil« dieser Note ihr Analogon nahen, Bind mit 

 den gleichen Ziffern, aber in eckigen Klammern, gekennzeichnet worden. 



