2()0 Sitzung der phys.-math. Klasse .vom 22. März L917. — Mitt. vom 8. März 



Der in Richtung der äußeren Normale aufgetragene Einheitsvektor 

 heiße tl . 



Das Problem der unendlich kleinen Verbiegung besieht darin. 

 die infinitesimale Verschiebung X als Funktion des Orts auf der Fläche 

 so zu bestimmen, daß 



(8) dx -dt 



wird. Auch die verbogene Fläche sei stetig gekrümmt: dies bringen wir 

 durch die Forderung zum Ausdruck, daß r, in der Umgebung des be- 

 liebigen Punktes p als Funktion der obigen Parameter wo dargestellt, 

 zweimal stetig difl'erentiierbar wird. Es soll gezeigt werden_, daß (8) 

 unter dieser Annahme Iceine anderen Lösungen hat als 



i = a + [b t], 



wo a„ und b konstante Vektoren sind. 



Die von den beiden Vektoren v„ , r,. gebildete Figur erfährt bei 

 der infinitesimalen Verbiegung lediglich eine Drehung; bezeichnen wil- 

 den Drehvektor — eine einmal stetig differentiierbare Ortsfunktion 

 auf der Fläche -- mit b. so gilt in der Umgebung von p 



(9) b, = [b,r u ], i r = [b,tj. 

 Daraus ergibt sich die IntegrabiUtätsbed'mgung 



(io) |b,. r„| = |b„,r/|. 



Der Vektor (io) ist gemäß dein Ausdruck auf der linken Seite senk- 

 recht zu r„. gemäß dem Ausdruck rechter Hand senkrecht zu i\., hat 

 also die Richtung der Normalen n. Daraus aber folgt unter Benut- 

 zung des Ausdrucks links, daß b r , unter Benutzung des Ausdrucks 

 rechts, daß b„ senkrecht, zu n ist; mithin 



|N| (b„n) = 0, (b,n) = n 



oder 



{xi- dh) = 0. 



Führen wir die Normalkomponente (bn) = W von b ein, so können 

 wir statt dessen auch schreiben 



(i i) (b-dn) - dW. 



7. Die Komponenten der Normalen n mögen saf,ot 2 ,at 3 heißen; 



ot, a;, + otjj&'j, + ci 3 .\\ = H 



sei die Gleichung der Tangentenebene. Die Ortsfunktion H nennt man 

 nach .Minkowski die Stützebenenfunktion der konvexen Fläche. (a,,a 2 ,« s ) 

 sind zugleich die Koordinaten eines Punktes auf der Einheitskugel, 

 wodurch die Fläche auf die Einheitskugel abgebildet erscheint {Gauss- 



