H. Weyl: ( ber die Starrheil der Einlachen und konvexen Polyeder 263 



das Analogon zu dein in der Polyedertheorie ebenso bezeichneten ist. 

 Das dreifache Volumen des von der Fläche umschlossenen konvexen 

 Körpers (in dessen Innern wir den Koordinatennullpunkt annehmen) ist 



| Edo = i H(H, H)du 



wobei das letzte Integral über die ganze Einlieitskugel zu erstrecken ist. 

 Für die Umgebung der Stelle (et I = a a = 0, a 3 = 1) benutzen wir 

 die Darstellung von x und b durch H und W, in welcher wir a 3 = 1 

 nehmen können, und benutzen ferner a, , u 2 an Stelle der Parameter u v. 

 Dann 1 liefert die dritte Komponente der Gleichung (io) 



Hi, W„-H„ W„ = H n W. 2l - H„W U , d. i. 

 [3] (H,W) = 0. 



Die andern beiden ergeben nichts Neues. Zwei der drei in der Vektor- 

 gleichung (10) enthaltenen Integrabilitätsbedingungen waren bereits 

 durch (11) ausgenutzt, und [3] ist nun die dritte. W ist Weingartens 

 »charakteristische Funktion«. [3I die WeingartenscIic Differentialglei- 

 chung. Unser Gedankengang stimmt im wesentlichen mit dem Blaschkes 

 überein 2 und läßt die Beziehung zur MiNKOwsiaschen Theorie sogleich 

 zutage treten. 



Jetzt gilt es zu zeigen, daß die einzigen Lösungen der Wein- 

 GARTENSchen Gleichung die homogenen linearen Funktionen von ä, , 

 ä, , a 3 sind. In der Tat, ist dies richtig, so folgt, daß W l , \V„, \V 3 , 

 also der Drehvektor b konstant ist = b : die Gleichungen (9) ergeben 

 dann, daß r-[b , v] auf der ganzen Fläche konstant ist. 



8. Die Ungleichheit (H , H) > bedeutet, daß die für einen testen 

 Punkt (a.) gebildete quadratische Form der Variablen £: *X-ffifr£«£* i' 1 



ik 



dem Sinne definit ist, daß sie für alle vom Nullpunkt verschiedenen 

 Punkte (£) der Ebene "^ «,-£,■ = Werte einerlei Vorzeichens annimmt. 



(Auf jeder Geraden senkrecht zu dieser Ebene ist sie konstant.) So, wie 

 wir die Normalenrichtung gewählt haben, ist die Form positlv-deßxät. 

 Wir bestimmen in jener Ebene das Maximum und Minimum Ä von 



1 In der Tat ist (ioj offenbar invariant gegenüber einer beliebigen stetig diffe- 

 rentiierbaren Transformation der Parameter uv. Es ist nicht gut, von vornherein an 

 Stelle der uv die Parameter «, , « 2 zu benutzen, da in diesen t und b nicht zweimal 

 stetig differentiierbar zu sein brauchen. 



2 Ein Beweis für die Unverbiegbarkeit geschlossener konvexer Flächen, Nach- 

 richten d. Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen. Sitzung vom 18. Mai 1912. 



