2(!4 Sitzung der phys.-math. Klasse vom l'l'. März 1917. — Mitt. vom 8. März 

 ^, W<ki;c,t unter der Nebenbedingung ^ H,* £,• £* — J 



ik ,7, 



was offenbar auf die Ilauptaehsentransformation einer Ellipse hinaus- 

 kommt. Man kann wieder speziell «, = <z 2 =0, <ü 3 = 1 nehmen, hat 

 dann £ 3 =0 und erhält auf die einfachste Weise für A die quadra- 

 tische Gleichung 



(12) h*{HH)-2X(R W) + (WW) = 0. 



Die beiden Wurzeln dieser Gleichung sind der kleinste und größte 

 Wert des. Quotienten 



ik ik 



bei freier Veränderlichkeit der £. Da jene quadratische Gleichung 

 reelle Wurzeln haben muß. ist 



(H,W) 2 > {H,H)-(W, W). 



Diese Ungleichheit 1 gilt allgemein für jede homogene Funktion W der 

 i . Ordnung. Da in unserm Falle aber [3] besteht, ergibt sich 



[4] (W.\V)<0. 



Findet hin- insbesonderi überall das Gleichheitszeichen statt, so folgt dar- 

 aus. in Verbindung mit [3], daß beide Wurzeln X der Gleichung (1 2) 

 Null sind, d. h. daß alle zweiten Ableitungen W a . verschwinden und 

 W somit eine lineare Funktion — genauer, da es homogen ist: eine 

 homogene lineare Funktion von «,, <* 2 , « 3 ist. 



9. Um zu erkennen, daß dieser spezielle Umstand tatsächlich 

 eintritt, haben wir uns wieder auf Minkowskis Symmetriegleichung der 

 gemischten Volumina 



(13) ((H,W)Vdu) = \{H,V)Wdt 



zu. stützen, in der die Integration sich über die Einheitskugel erstreckt 

 und H, V, W irgend drei Funktionen von der hier immer voraus- 

 gesetzten Beschaffenheit sind. Sie besagt, daß (H, W) bei gegebenem 'J9 

 liv sich selbst adjungierter Unearer Differentialausdruck in der willkürlichen 

 Funktion W ist 2 . Man beweist (13) am einfachsten so. Man um- 



1 Ihr entspricht im Polyederfall (in dem wir sie freilich nicht heranzuziehen 

 brauchten) die BRUNN-MiNKOWSKische Ungleichheit für den gemischten Flächeninhalt kon- 

 vexer Polygone, von der Hr. Frobeniüs (Sitzungsber. d. Berl. Akad. d. Wiss.. 1015. 

 S. 387 — 404) den durchsichtigsten Beweis gegeben hat. 



- Vgl. Hilbert. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral- 

 gleichungen, Satz 49, S. 245. 



