H. Weyl: über die Starrheit der Eidlichen und konvexen Polyeder 265 



schreibe der Einheitskugel einen den Koordinatenachsen parallel orien- 

 tierten Würfel und projiziere ihn vom Nullpunkt zentral auf die Kugel. 

 Dadurch erhält man eine Einteilung ihrer Oberfläche in sechs Ge- 

 biete, in deren jedem eine bestimmte der drei Größen a,, a 2 > « 3 von 

 verschieden bleibt. Betrachten wir z. B. die obere Seitenfläche u z = 1. 

 Das über deren Projektion erstreckte Integral auf der linken Seite 

 von (13) lautet 



l j j V r {(Äi,W it -J5r il W 11 ) + (fl B W ll -fl il W M )}rf* 1 d« i , 



wobei im Integranden a 3 = 1 zu nehmen ist und die Integration sich 

 über das Quadrat |a,|< 1 , |a 2 |< I erstreckt. Durch partielle, die zwei- 

 ten Differentiationen an W beseitigende Integration verwandelt sich 

 dies in 



(M) - y f ]{#., r 2 w 2 -//,,(r, w t + v % wj + fl^w, } d*^ 



plus einem Randintegral. Dabei müßte man freilich die 3. Difl'erential- 

 quotienten von H benutzen; aber man kann die damit verbundene 

 Voraussetzung der dreimaligen Differentiierbarkeit leicht vermeiden, 

 indem man das Integral zunächst durch die Summe der Werte des 

 Integranden in den Ecken eines feinen Quadratnetzes, im Integranden 

 dabei aber noch die zweiten Differentiationen an II und W jeweils 

 durch die entsprechende Differenz ersetzt und dann eine analoge Um- 

 formung durch partielle Summation vornimmt (dabei ist es sehr be- 

 quem, daß der Integrationsbereich selber quadratisch begrenzt ist). 

 Setzt man den in (14) auftretenden Integranden 



so ist ( 1 4) selbst 



= -y {[Y,W] B dw. 



Es wird also [V, W] ß bei zyklischer Vertauschung der Koordinaten- 

 indizes sich nicht ändern: und wenn man entsprechend für die fünf 

 andern Würfelflächen verfährt, so wird überall der nämliche Ausdruck 

 in Erscheinung treten. Addiert man die erhaltenen sechs (deichungen, 

 so zerstören sich die Randintegrale, und wir linden 



l(n,W)Vdw = -i- l[v,w] B du 



bei Integration über die ganze Kugel. Daraus gehl die Symmetrie 

 hervor. Durch den Umstand, daß die Randintegrale sich zerstören, 

 nutzen wir die Geschlossenheit der gegebenen Fläche aus. 



Sitzungsberichte 1917. -' 



