274 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 12. April 1911 



Über zerlegbare Determinanten. 



Von G. Frobenius. 



xVm Schluß meiner Arbeit Über Matrizen aus nicht negativen Elementen, 

 Sitzungsberichte 191 2, habe ich den Satz bewiesen: 



I. Die Elemente einer Determinante nten Grades seien n 2 unabhängige 

 Veränderliche. Man setze einige derselben Null, doch so, daß die Determinante 

 nicht identisch verschwindet. Dann bleibt sie eine irreduzible Funktion, außer 

 wenn für einen Wert p < n alle Klemmte verschwinden, die p Zeilen mit 

 n-p Spalten gemeinsam haben. 



Der Beweis, den ich dort für diesen Satz gegeben habe, ist ein 

 Gelegenheitsergebnis, das aus verborgenen Eigenschaften der Determi- 

 nanten mit nicht negativen Elementen fließt. Der elementare Beweis, 

 den ich hier für den Satz entwickeln werde, ergibt sich aus dem 

 Hilfssatze : 



II. Wenn in einer Determinante n len Grades alle Elemente verschwinden, 

 welche p (sn) Zeilen mit n-p -f- 1 Spalten gemeinsam haben, so ver- 

 schwinden alle Glieder der entwickelten Determinante. 



Wenn alle Glieder einer Determinante nten Grades verschwinden, so 

 verschwinden alle Elemente, welche p Zeilen mit n - p 4- 1 Spalten gemein- 

 sam haben für p = 1 oder 2 , ■ • • oder n. 



* 1. 

 Wenn in einer Matrix n t< j n Grades M alle Elemente x a& einer 

 Reihe verschwinden, so verschwindet jedes Glied der Determinante \M\, 

 weil jedes ein Element dieser Reihe als Faktor enthält. Da die obigen 

 Sätze von der Reihenfolge der Zeilen und Spalten unabhängig sind, 

 so betrachte ich hier Matrizen, die sich nur durch diese Reihenfolge 

 unterscheiden, als äquivalent. In der Matrix M trenne ich die ersten 

 p Zeilen von den letzten n-p und die ersten p Spalten von den 

 letzten n-p und setze 



AB A„B„_, 



[) CD C n _ p , p D n _ p , n _ p 



