Frobenius: Über zerlegbare Determinanten 275 



Hier bezeichnet A = A p _ t , die Teilmatrix von M, die aus den Ele- 

 menten der ersten p Zeilen und Spalten besteht, B = B pn _ p die Teil- 

 matrix, die aus den Elementen der ersten p Zeilen und der letzten 

 n-p Spalten besteht usw. Ist nun B = 0, so ist jedes Glied von 

 | M | , das etwa nicht verschwindet, das Produkt aus einem Gliede a 

 von A und einem Gliede d von I). Wenn also in A noch die Ele- 

 mente der letzten Spalte verschwinden, so ist stets a = und also 

 auch jedes Glied ad von | M\ Null. 



Dies Ergebnis läßt sich umkehren. Der zweite Teil des Satzes II 

 ist richtig (für p = 1), wenn alle Elemente einer Zeile verschwinden. 

 Wenn aber .r„, von Null verschieden ist, so verschwinden alle Glieder 

 von I -^ | , die den Faktor # B1 enthalten, also alle Glieder der zu x nl 

 komplementären Unterdeterminante (n - l)ten Grades, deren Matrix 

 JV sei. 



Nun nehme ich an, die Behauptung sei für Determinanten, deren 

 Grad < n ist, schon bewiesen (für Determinanten zweiten Grades müssen 

 die Elemente einer Reihe verschwinden). Dann verschwinden in N alle 

 Elemente, welche etwa die ersten p Zeilen mit den letzten u- 1 -p+ 1 

 Spalten gemeinsam haben; es ist also B = 0. Daher ist jedes Glied 

 von M das Produkt aus einem Gliede a von | A | und einem Gliede 

 d von | D | . Wenn nun diese Produkte ad , ad', ■ ■ ■ , ad , ad', - ■ ■ 

 alle Null sind, so müssen entweder die Größen a , a , ■ • ■ oder die 

 Größen d , d' , ■ ■ ■ sämtlich verschwinden. Im ersten Falle verschwin- 

 den alle Glieder der Determinante | A | . Da deren Grad p < n ist, 

 so ist für sie die Behauptung schon bewiesen, es ist also 



/ , V - i "« y , p - } + i 



wo Qy./.-v + ' " " ist - Demnach ist 



Q,,,-, + i U, 



TUT _ V g V 



lfl — p-i<i- i °/>- 7..P-7+ 1 "p->!."-p 

 Y V D 



■A-n-p.q-l £ n-p.p-y + l ^n-p.n-p 



Hier verschwinden alle Elemente der Matrix 



p-q."-p 



also auch alle Elemente der Matrix 



Hq,p ?+l *- ','■»-/' • 



Das sind alle Elemente von M, welche die ersten q Zeilen mit den 

 letzten n- q + 1 Spalten gemeinsam haben. 



Sitzungsberichte 1017. "9 



