270 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 12. April 1917 



§2- 



Aus dem Hilfssatze II ergibt sieh leicht der Satz I. Die von 

 Null verschiedenen Elemente x al der Determinante ?^ten Grades | M | 

 seien unabhängige Veränderliche. Wenn nicht | M | = ist, so 

 muß ein Glied der Determinante von Null verschieden sein. Durch 

 Umstellung der Spalten kann man erreichen, daß dies das Diagonal- 

 glied x n oc 2 „ ■ ■ ■ x, IH ist. 



Die Determinante möge in zwei Faktoren zerfallen. Da sie in 

 bezug auf die Variabein einer Reihe eine homogene linare Funktion 

 ist, so können diese nur in einem der beiden Faktoren vorkommen. 

 Es mögen die Variabel!) der p ersten Zeilen im ersten Faktor vor- 

 kommen, also nicht im zweiten, und die Variabein der n-p letzten 

 Zeilen im zweiten Faktor, also nicht im ersten. Dann kommen mit 

 #11 > ^22i ■ ■ ■ X PP auch die Variabein der ersten p Spalten im ersten 

 Faktor vor, und die der letzten n-p Spalten im zweiten. 



Ich benutze nun die Bezeichnung (i) § i. Sind die Variabein 

 von C alle Null, so ist der Satz richtig. Ist x nl nicht Null, so kommt 

 diese Variable, weil sie der rtten Zeile angehört, nicht im ersten Faktor 

 vor, und weil sie der ersten Spalte angehört, nicht im zweiten. Da- 

 her ist | M | von x ttl unabhängig, und folglich ist die zu x nl komple- 

 mentäre Unterdeterminante | JV | = . Da ihre Elemente aber unab- 

 hängige Veränderliche oder Null sind, so verschwinden ihre Glieder 

 sämtlich. Nach Satz II verschwinden daher in N, also auch in M , alle 

 Elemente, welche q Zeilen mit n - 1 - q + 1 Spalten gemeinsam haben. 



§3- 



Aus dem Satze II ergibt sich auch leicht ein Ergebnis des Hrn. 

 Denis König. Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie 

 und Mengenlehre;, Math. Ann. Bd. 77. 



Wenn in einer Determinante aus nicht negativen Elementen die Größen 

 jeder Zeile und jeder Spalte dieselbe^ von Null verschiedene Summe haben, 

 so können ihre Glieder nicht sämtlich verschwinden. 



Denn wenn alle Glieder von | M | verschwinden, so verschwinden 

 etwa die Elemente von B und die der letzten Spalte von A . Haben 

 nun die Größen jeder Reihe die Summe *. so ist die Summe der Größen 

 der/) ersten Reihen, also der Elemente von A und B , gleich ps . und 

 ebenso die Summe der Größen der p ersten Spalten, also der Elemente 

 von A und C. Folglich ist die Summe der Elemente von C gleich 

 der der Elemente von B, und da diese alle Null sind, und jene nicht 



