$02 Gesamtsitzung v. 3. Mai 1917. — Mitt. tl. phys.-math. Kl. v. 26. April 



Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur 

 Theorie der Kettenbrüche. 



Von Prot'. Dr. I. Schur 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius am '_'(>. April 1917 [s. oben S. 299].) 



üuner der einfachsten und bekanntesten Sätze über die additive Zu- 

 sammensetzung' der ganzen Zalilen ist der von Euler aus der Identität 



JJ(1 +£*)=_ _ ,|,|<i) 



ll(l-.r 2 " + 1 ) 



u = 



abgeleitete Satz: Jede positive ganze Zahl läßt sich ebenso oft in von- 

 einander verschiedene (positive) Summanden zerfallen, als sie in gleiche 

 oder verschiedene ungerade Summanden zerlegt werden kann 1 . Im 

 folgenden will ich zwei neue Sätze beweisen, die von ganz ähnlichem 

 Charakter sind, aber wesentlich tiefer zu liegen scheinen: 



I. Dir Anzahl Z x (n) ihr Zerlegungen 



(i.) n = b l +b i + ■■• (&,_,> K+l,b,>l) 



einer positiven ganzen Zahl n in voneinander verschiedene Summanden mit 

 ihr Minimaldifferenz 2 ist gleich der Anzahl l-\(n\ ihr Zerlegungen von n 

 in gleiche oder verschiedene Summanden von ihr Farm ,")<>+ 1. 



II. Betrachtet man unter ihn Zerlegungen (i.) nur diejenigen, bei 

 denen alle Summanden mindestens gleich 2 sind, so ist ihre. Anzahl Z.,\n) 

 gleich ihr Anzahl F 2 (n) der Zerlegungen von n in gleiche oder verschie- 

 dene Summanden ran ihr Form 5v±2. 



Hierbei hat man in allen Fällen auch die Zerlegung n = n mit 

 zu berücksichtigen. Für n = 9 hat man z. B. zur Berechnung von 

 Z l (n) die Zerlegungen 



9. 8 + 1 , 7 + 2, ß + 3, 5 + 3 + 1 



1 Dieser Satz läßt sich auch mit rein arithmetischen Hilfsmitteln leicht beweisen. 

 Vgl. K.. Th. Vahlen, Journal f. Math. Bd. 112. S. 1. und P. Bachmann, Additive Zahlen- 

 theorie (Leipzig 1910), S. 109. 



