[.Schur: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie 



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zu betrachten. Es ist also Z,('.M 5 , Z t {9) 3. Die zugehörigen 

 Zerlegungen der andern Art sind 



9,6 + 1 + 1 + 1,4 + 4 + 1,4 1 



+ 1 . 1 + H + 



bzw. 



7 + 2 , 3 -!- 3 + 3 . 3 + 2 + 2 + 2 . 



Aus I und II ergibt sicli insbesondere, daß stets P\(») /',(«) ist, 

 und daß hier für rt > 3 das Gleichheitszeichen nicht stehen kann. 

 Auch dies scheint neu und nicht trivial zu sein. 



Die beiden zahlentheoretischen Sätze lassen eine einfache analy- 

 tische Deutung zu: 



III. Setzt um//, wenn x l ,x i , ■■■ beliebige komplexe Größen bedeuten, 



1 . .r, , , , ■ 



1 . 1 . x lt 0, • 



0,-1, 1. x,,-. 



0, 0,-1. 1, • 



/-»Li-, . x,,x 3 , • • ■) 



und bezeichnet insbesondert du unmdlicht Determinante D(x*, ,r u + 1 . .r u + \ • • •) 



mit l>,J-r) . so wird für | x | < 1 



".(■<•) = -V- • D M = x 



f| (l-.r- 4 l(l-.r-'-'l [] (l-.r- - 3 )(1 a?»'-») 



I) = 1 IT = 1 



ni/rr. was dasselbe ist, 



P flu .<■'■)• />,u) 2 ( -"'- r s ' nu-so-Ato 2 (- 1 ) X - T 



- = i >. = - oc •■' = ' * = - oc 



Hieraus folgt insbesondere : 

 IV. Der Kettenbruch 



X I X* I X 3 I 



*<■'■>= ' + n ' + |! ' + |i +■■■ 

 ist für I .r | < 1 konvergent und läßt folgende Darstellung zu 



l.v) K(x 





II 



2 HIV 



2(-i)^ 



>. r= - CO 



Bezeichnet man mit S-(u,t) die Thetafunktion 



&( V ,t) J (-l)V 2 -'< 



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