304 Gesamtsitzung v. 3. Mai 1917. — Mi«, d. phys.-math. Kl. v. 26. April 



so läßt sich diese Formel auch in der Gestalt 



K(x) 



/3t 5t\ 



schreiben. 



Für die Gleichungen (2.), aus denen alles übrige folgt, gebe ich 

 zwei Beweise an. Der erste, zahlentheoretische Beweis beruht auf 

 einer ähnlichen Überlegung wie der schöne FitANKLiNSche Beweis für 

 die EuLERSche Formel' 



(4.) 4 / (x) = \J(l-x*) = ^(-l)\v~ r ~ <M<D- 



Der zweite, algebraische Beweis bedient sich eines Kunstgriffs, den 

 Gauss (Werke Bd. III, S. 461) angewandt hat, um zu der Formel 



(5-) \\{\-h*°){\-h*°- i ^)(\-lr"-*z- i )= Si-iy-z*'-^ 2 (|A|<l,, + 0) 



"=» >. rjco 



zu gelangen 2 . 



Die beim zweiten Beweis benutzten merkwürdigen Identitäten ge- 

 statten, noch eine weitere interessante Eigenschaft des Kettenbruchs 

 K(x) abzuleiten. 



V. Ist x eine primitive m-te Einheitswurzel, so ist K(x) divergent 

 oder konvergent, je nachdem m durch 5 teilbar ist oder nicht. Im zweiten 

 Fall unterscheidet sich K(x) von K{\) oder - K(- 1) nur um einen Faktor, 

 der eine Potenz von x ist. 



* i- 

 Man setze für n = 



Z u (0) = F u (0) = l ( M = 1 , 2) 



und bilde die Potenzreihen 



(6.) u*) = 2^>k, 0» - 2*»*" • 



Bedeutet S{n) die Anzahl aller Zerlegungen von n in gleiche oder 

 verschiedene Summanden, so wird bekanntlich 



1 J. Franklin, C. R. 92 (1881), S. 448. Vgl. auch P. Bachjiann, a.a.O. S. 163. 

 Einen neuen, recht einfachen Beweis für die Eui-ERSche Formel gebe ich am Schluß 

 des § 4 dieser Arbeit an. 



2 Diese Formel ist bekanntlich eine der Haüptformeln der Theorie der Theta- 

 funktionen. 



