[.Schur: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie 



HO 5 



2-s(»)*" 



na 



eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1. Da nun jede der Zahlen 

 Z^n) und -F u (w) für jedes n höchstens gleich S(n) ist, so sind die Potenz- 

 reihen (6.) für \x\< 1 konvergent. Die Sätze I und II besagen nur, daß 



(7.) ;,(.»■) = </),(.t;), :,(.<■) = (p 2 (x) 



ist. 



Die Funktionen (p x {x) und </> 2 (;e) lassen, wie in bekannter Weise 

 geschlossen wird, die Darstellung 



(8.) ^ (*) = —_ , ^(, r ) = ___ 



na-^-'xi-^- 1 ) 



H(i-x»->)(i- x »-*) 



zu. Daher ist, wenn \J/ (x) wie früher das EüLERSche Produkt (4.) be- 

 deutet, 



-l (x) <pAx) = fj(l - x ■•• ") (1 - .r- " 3 )(1 - .,•" -») . 



V = 1 



f= 1 



5 1 5 1 



Setzt man nun in (5.) // = x 2 , z = ,r' oder A = x' , z = ;r 4 , so er- 

 hält man 



(8'.) 



(9 



ist. 



4,{x)^{x) = ^ (- 1)\t 3 -.. 1 - x' - x 3 + x 3 + x" - .c 21 x ai + 



00 5 x 2 - 3 * 



^(x)<p i (x)=^(-l)'x 2 = l-.r .,-' + .r+.r ,, -.r ,s ,r 27 + 



Um also (7.) zu beweisen, hat man nur zu zeigen, daß auch 



00 5*'-(2»-l)>. 



,) ^(*)c» =X^ 1 )'' x 2 («=1.2, 



Daß die Funktionen £,(#) und C 2 (.r) (für | ;c | < 1) mit den in der 

 Einleitung eingeführten unendlichen Determinanten D k (x) und D 2 (x) 

 übereinstimmen, erkennt man folgendermaßen. Setzt man 



1 . x, , , • ■ • . 0,0 

 - 1 . 1 . x., . ■ ■ ■ . 0,0 



0, -1 , 1 . ■••- 0,0 



D(x lt x a , ■■■ . x m ) = 



, . , • • • ; 1 , x m 

 0. o, o, •■•. -1 , 1 



