306 Gesaxntsitzung v. .".. Mai 1917. — Min. d. uhys.-niath. Kl. v. 26. April 

 SO wird 



Hieraus folgt, daß diese Determinante die Form 



hat. wobei die Indizes der Reihe 1 , 2 , • • • , in angehören und noch 

 den Bedingungen 



ß - ot, ^ 2 , y - .3 > 2 , • • • 



zu genügen haben. Bezeichnet man mit Z(n , m) die Anzahl der Glieder, 

 bei denen die Summe des Indizes gleich n ist. so wird offenbar für m > n 



Z{n, m) = Z,(rc). 

 Insbesondere erhält die Determinante 



P m — B{x,x- , ■■■ . .r'") 

 die Form 



(«i + ll-v 



P m 1 X Z,(n)x" + %Z(r, ///).,< U + l 



n = 1 r 



Da nun Z(r , m) ^ Z k (r) ist. so wird für | .r | < 1 



| :,(,,- />,„|<2£z 1 (/-)|.<-|'- 



<• = Rl + I 



Hieraus folgt 



;,(.r) = lim P m = D^x). 



In derselben Weise beweist man. daß £ 2 (.r) = D 3 [x) ist . 



Daß die Determinanten 7>,(.c) und D t (x) für | ■'' | < 1 konvergent 

 sind, folgt auch aus einem bekannten, leicht zu beweisenden Satze 1 , 

 der besagt, daß die unendliche Determinante /)(.r,. . .r._ . .r, . • • •) stets 

 konvergent ist, wenn die Reihe N .r,. absolut konvergenl ist. Insbe- 

 sondere stellt die Determinante 



*{z,x) - D(z, zx, zx\ ■■■) 



für jedes feste z eine im Kreise | x | < 1 reguläre Funktion von x und 

 für jedes feste x im Innern dieses Kreises eine ganze transzendente 

 Funktion von z dar. Entwickelt man diese Determinante nach den 

 •Elementen der ersten Zeile, so ergibt sich 



A(c,.r) = A(-.r..r)+ zA(zx\x). 

 Ist daher 



AU,.r) = X + X 1 ^+X 2 2 2 +---, 



1 Vgl. 1'kuro.v. Die Lehn' von den Kettenbrüchen (Leipzig und Berlin 191 3), S. 345. 



