[. S i: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorii WO, 



so wird 



Hieraus folgt, da \,, 1 ist, 



(1 -•<•)( l-.r'^|...(l x*) 



Insbesondere erhält man für die Funktionen C,(-t') und £ 2 (#) die Dar- 

 stellung 



Zj.r) = ./!,(..•> A(.r".,) 1+V 



(I -x)(l -.>■"■)■■ ■(! -.r") 



Wir wenden uns nun zum Beweis der Formeln (9.). Denkl man 

 sich die Funktion 



M*YCA*) 1 1<> ■'•'•]> 3.« 

 1 



nach Potenzen von .r entwickelt, und bezeichnet man den Koeffizienten 

 von .c" mit TJJyi), so läßt sich diese Zahl in ähnlicher Weise, wie 

 Legexdre das für die Entwicklungskoeffizienten der Funktion i [x] ge- 

 tan hat, folgendermaßen deuten: Man denke sich n auf alle möglichen 

 Arten in der Form 



(IO.) ;/=V^4-V/ /> (k, 1 = 0, 1,2,-..) 



X = 1 \ = ] 



zerlegt, wobei die positiven ganzzahligen Summanden a, und />, den 

 Bedingungen 



(11.) a x _ t > a, , //>_, > 6. + 1 , f//, > 1 , 6; > w 



genügen sollen. Eine solche Zerlegung nenne man gerade oder "////<- 

 raoV, je nachdem k gerade oder ungerade ist. Dann ist ',(//) der 

 Überschuß der Anzahl der geradem. Zerlegungen über die der ungeraden. 

 Hierbei sind auch diejenigen Zerlegungen (10.) zu berücksichtigen, bei 

 denen k oder / gleich Null wird. d. h. entweder kein ß, oder kein 

 b x vorkommt, Was wir zu zeigen haben, ist nun. daß U u (n) gleich 

 (- 1)' oder ist, je nachdem n die Form 



5A 2 -(2^-l)Ä 

 (12.) » = - 



hat oder nicht 



Im folgenden denke ich mir n und u. festgehalten und bezeichne 

 eine Lösung der Relationen (10.) und (11.) mit 

 (13.) L = (",. >i...-- ■ .(i k \b,,b z , ■■■ 



