[.Schur: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie 309 



zu. Auf diese Weise gewinnen wir (für n > 1) alle Lösungen /. 

 (»i ■ ßa» • • ' > ö*|*i » K, ■ ■ • , //,), für die a\ > b\ + 1 oder / ist, und 

 jede nur einmal. Lassen wir nun diese Paare L , L' fort, so zerfallen 

 die übriggebliebenen Lösungen in zwei Komplexe 31 und 33. Der 

 Komplex 31 umfaßt alle Lösungen, die der Bedingung 6, - a, genügen^, 

 der Komplex $$ dagegen dit Lösungen^ bei denen 6, n 1 -l> 1 wf. Für 

 n > 4 sind (auch für /./ = 2) sowohl in 31 als auch in 33 Lösungen ent- 

 halten, und für jede derartige Lösung ist keine der charakteristischen 

 Zahlen p , q , r gleich . 



Die Lösungen (Elemente) von 31 teile ich nun in Teilkomplexe 



&,nft.i.*..i <■ 1,2,3,...) 



die dadurch gekennzeichnet sind, daß die zugehörigen charakteristischen 

 Zahlen den Bedingungen 



q > v , r > v 



q ;> v , r = v 

 </ v . r > v 



genügen. Ebenso teile ich die Elemente von 33 in die Teilkomplexe 



23.,,.33.„.2v ; (. = 1,2,3,...) 



unter Zugrundelegung der (etwas abgeänderten) Bedingungen 



(SS,,) p > v , q = v, r > v 



i33.. a ) p= V, q > V, r ^> V 



(S3 v3 ) p > v , q > v , r — v. 



Enthält einer der Komplexe 31,,,, 33 keine Lösung, so sage ich, er 

 sei gleich Null. 



Diese Einteilung läßt sich geometrisch interpretieren. Bezieht man 

 die Punkte im dreidimensionalen Räume auf ein System Kartesischer 

 Koordinaten x , y , : , so entsprechen den in Betracht zu ziehenden 

 Zahlentripeln p ,q,r gewisse Gitterpunkte, die. in unserem Falle im 

 Innern des ersten Oktanten hegen. Man erhält nun alle diese Gitter- 

 punkte, indem man für v 1,2,3,--- diejenigen aufsucht, die in den 

 vom Punkte (v,v, v) ausgehenden drei Ebenenquadranten x = v , y = v . 

 z = v liegen. Hierbei hat man aber die auf den zugehörigen drei 

 .Schnittgeraden gelegenen Gitterpunkte nur einmal zu zählen, und hierzu 

 hat man eine Festsetzung darüber zu treffen, zu welcher der drei 

 Ebenen jede dieser Geraden gerechnet werden soll. Dies geschieht 

 hier nun so, daß bei beiden Komplexen 31 und 33 die Schnittgeraden 

 x = v , y == v und x = v , c • = v als zur Ebene x = v gehörend an- 

 gesehen werden. Die dritte Gerade y = v , z = v wird aber (den Punkt 

 (v . v , v) ausgenommen) bei 31 zur Ebene z = v und hei 53 zur Ebene 



