I.Schur: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie ■> 1 3 



aufzustellen, wo r und s zugleich mit n über alle Grenzen wachsen, 

 und Aty,Bjp Polynome bedeuten, für die sich eine ebenfalls zugleicb 

 mit n ins Unendliche wachsende Zahl /i<// derart angeben läßt, daß 

 für jedes A die Entwicklungen von 



( 1 - x) ( 1 - x*) •••(!- **) • A£> . ( 1 - .»■) ( 1 x*) • • • ( 1 x*) ■ B^ 



nach Potenzen von x die Form 



l + cx k - a * +1 + c'x k - a *+ t + ■■■, bzw. \ + dx h - b *-+ 1 + d'x k - h >- Jri + ■■■ 



erhalten. Denn ist dies der Fall, so stimmen die Polynome 



(1 - x) (1 - x a ) • ■ • (1 - x") P n , (1 - x) (l-x a ) ■■■([ .i k )Q„ 



und folglich auch die Potenzreihen 



f] (!-■<• )•/>,(..). fl(l-.r)./;j,, 



in den Koeffizienten von 1 . x, .i J , • • ■ , x* mit den Potenzreihen ]^(~ 1 >' '■< '" k 

 und V(-1)\A überein. Hieraus folgt, da k beliebig großer Werte 

 fähig sein soll, daß sie in allen Gliedern übereinstimmen müssen 1 . 

 Um nun zu Relationen von der Form (21.) zu gelangen, setze 

 man. wenn /.• und / zwei ganze Zahlen bedeuten, für l "> 



(22.) 

 und für / < 



• 23-) 



[1 -x*)(l -x*- 1 ).-.^- 



(1 ,r)(l ,r 2 ) ••• (1 .r') 



■ [A] 



Es wird dann stets 



(24.) 

 und für k J> 



(25-) 



1-1 



+ .<■' 



k-\ 



l 



k 

 k-l 



[V 



k 



k + in 



= 0. 



+ * 



k-l 



l-\ 



(m = 1 , 2 , 



Aus (24.) folgt, daß der Ausdruck (22.) für positive Werte von k 

 und / eine ganze rationale Funktion von x darstellt 2 . 



1 Eine ähnliche Überlegung liegt dem in der Einleitung erwähnten ÖAUSSSOhen 

 Beweis für die Formel (5.) zugrunde. 



2 Diese Ausdrücke hat Gauss (Summatio quarundam serieruni singularium, 

 Werke Bd. II, S. 16) eingeführt. Er bezeichnet sie dort mit (*, l). Die hier gewählte 

 Bezeichnung läßt die enge Verwandtschaft dieser Ausdrücke mit den Binomialkoeffi- 

 zienten deutlicher hervortreten. 



