[.Schur: Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie 317 



Aus der Identität (30.) ergibt sieh unmittelbar du in der Einleitimg 

 erwähnte Euzüssche Formel 



nu -•'•")= x (->) : 



3 >. a 

 X 



Die im vorigen Paragraphen behandelten Ausdrücke P„ und Q„ 

 sind nichts anderes als die Zähler und Nenner der Nähemngsbrüche 

 K n des Kettenbruchs 



r(*).= = .i + Tr l + Tr l +ir i + ... 



Da für | x j < 1 die Grenzwerte 



lim P„ = B x (x) = <p ,(.(•), lim Q„ = /Aj.r) c f ,., (.r) 



existieren und D 2 (a;) wegen der (auf S. 305 stehenden) Formel (S.) von 

 Null verschieden ist, so ist der Kettenbruch für [ x\ < 1 sfefe konvergent. 

 Aus den Formeln (8.) und (8'.) ergibt sich zugleich die in der Ein- 

 leitung angegebene Darstellung (3.) für K(x). Benutzt man insbe- 

 sondere die Produktdarstellung für A'(.r) und geht zu den Logarithmen 

 über, so erhält man, wie in bekannter Weise leicht geschlossen wird, 

 die neue bemerkenswerte Formel 



log K\x) = V ■'"" (I 1 



wobei 



.77^ V ° / 



den Überschuß der Summe der (positiven) Teiler von n . welche die 

 Form 5v+l haben, über die Summe der Teiler von der Form 5i/ + 2 

 bedeutet. 



Setzt man x = . so läßt sich der Kettenbruch auch in der 

 



Form 



a I a 2 1 a :i I a l 1 r/' I c/' ; I 



schreiben. Hieraus folgt auf Grund eines bekannten Satzes von Legenore 

 (vgl. Perron, a.a.O. § 52), daß die in (3.) rechts stehende Funktion 

 für (positive und negative) rationale x, deren Zähler und Nenner der 

 Bedingung b>a? genügen, eine irrationale Zahl darstellt. In ähnlicher 



Sitzupgsberiehte 1917. 34 



