'A\ 8 Gesamtsitzung v. 3; Mai 1917. — Mitt, d. phys.-matli. Kl. v. 26. April 



Weise hat Eisenstein (Journ. f. Math. Bd. 27 und 28) gezeigt, daß ge- 

 wisse andere mit der Theorie der Thetafunktioncn zusammenhängende 

 Funktionen für spezielle rationale Werte der Argumente irrationale 

 Werte annehmen 1 . 



Wird in (31.) insbesondere a= l,b= .r" 1 gesetzt, so erkennt 

 man auf Grund eines von M. A. Stern herrührenden Kriteriums (vgl. 

 Perron, a. a. 0. S. 235), daß der Kettenbruch A'(.r) für | x | > ] stets 

 divergent ist. 



Die Entscheidung der Frage, für welche x vom absoluten Be- 

 trage 1 der Kettenbruch K(x) konvergiert oder divergiert, dürfte recht 

 schwierig sein. Mit Hilfe der Formeln (29.) gelingt es aber, diese 

 Frage für den Fall, daß x eine Einheitswurzel ist, vollständig zu er- 

 ledigen. 



Es sei nämlich D{x 1 . x t ,•••, x n ) die auf S. 305 eingeführte De- 

 terminante und 



/>j*> = /;(.,-,.. ,-, + ,,-•-,..■,), />;' + " = nf^ = 1. 



Dann bestehen folgende leicht zu beweisende Formeln (vgl. Perron. 

 a. a. 0. § 5) 



(32.) /;i.r,..r 2 . ■• •..,„) = L»(.r„,.r„_,. ••-..<•,). 



133.1 Z)M = flw , Dt +,) + •*•„, AL l L 2 Ai'" + L ' ' (1S»<»), 



(34.) D^ flW-DWD«, = (-1 )".»•,..;.. • • • .r„ . 



Ist nun .r eine primitive »ite Einheitswurzel, so wird wegen (32.) 

 P m _ t = X»(.r , .r, • ■•..,■"'-) - />(..■ " ■-•, .r" :! . • • • , ,-""-'>) = = Q m _, 



die zu Q,„_i konjugiert komplexe Zahl. Ebenso erhält man /'„, , /',„ ,. 

 Qm-t = Qm-2- Da ferner 



7J(x A ',.r* +I , •••,.(■') = D(**-",/r*-" +I , • • • , a; 1 — +I ) 

 ist, so folgt aus (33.) 



(35-) P.= P«-iP»—+-P—.Qi.-«, Q„ =Q m - 1 P n - m fQ— .Q-. 



\us (34.) ergibt sich noch 



(36.) P„-,Q a -P»Q»_, = (-1)»^ +»+■••+- = (-1)-»^. 



Speziell wird 



1 Vgl. Perron, a.a.O. S.315, sowie auch F.Bernstein und 0. SzAsz, Math. 

 Ann. Bd. 76 ( 1915), S. 295. 



