320 Gesamtsitzung v. 3. Mai 1917. — Mitt. d. phys.-math. Kl. v. 26. April 

 folglich ist, wenn wir n = </m -f /■ (0 < r < m) setzen. 



Insbesondere werden alle Näherungsbrüche A' v ,„.,.,„_, sinnlos, weil ihre 

 Nenner verschwinden. Der Kettenbruch ist daher als divergent zu 

 bezeichnen (vgl. Perron, a.a.O. § 21). Zugleich ergibt sich, daß, wenn 



die fünfte Einheitswurzel a; 5 im zweiten oder dritten Quadranten liegt, 

 diejenigen Näherungsbrüche, die nicht sinnlos werden, gegen kon- 

 vergieren. Denn in diesem Falle wird, wie die Tabelle zeigt, 



| P„_, | = 2 cos — < | Q m _ t | = 2 cos - • 



also ist für Q,. =|= 



p f p _ Y 



lim K qm+r = ^ lim [j— = 0. 



7 = 00 Vr 7 = oo \<<£m-2/ 



Ist dagegen m nicht durch 5 teilbar, so ist, wie ich zeigen will, 

 der Kettenbruch h'(.r) konvergent. Aus (35.) und (39.) folgt nämlich 

 für jedes r 



Hieraus ergibt sich in bekannter Weise, daß, wenn 



1+J/5 1-1/5 



■ - •_> • - ~ 2 



gesetzt wird, die Ausdrücke P, /m+r und Q ?m + r auf die Form 

 (40.) P ?m + r = a r &» +,a' r y. t Q l/m+r = b r ^ + b' r §'* 



gebracht werden können. Insbesondere wird hierbei 

 (41.) (S-S'K = P m+r -$'P r , (S-S')& r = Q m+r -^'Q r . 



Aus (40.) folgt 



(42.) lim %t£ = ßrJ - Um %^±1 = 6r . 



Ersetzt man ferner in (36.) den Index n durch qm 4- r. dividiert durch 

 9- 7 und geht zur Grenze, über, so erhält man 



(43.) ßr-i*r= «A-l- 



Ich behaupte nun. daß keine der Zahlen r/ r und 6,. verschwinden 

 kann. Die Ausdrücke P„ und Q„ sind nämlich sämtlich Zahlen des 

 durch x bestimmten Kreiskörpers der mten Einheitswurzeln, dagegen 

 ist l/ö und folglich auch S-', weil m nicht durch 5 teilbar sein soll, 

 in diesem Körper nicht enthalten. Aus a r oder b r — würde 



