620 Sitzung der phys.-math. Klasse vom "_'•_'. Nov. 191?. — Mitt. vom 8. Nov. 



tritt. Das hat zur Folge, wie man beim Überblicken der anschließenden 

 Entwicklung erkennt, daß die Gleichungen (8) eine entsprechende 

 Erweiterung erfahren und in die folgenden übergehen: 



(21) 



i/i = 'j -+- 1 -f- 2 q ] sin tp cos </> — cos <p 



—£+.,) 



*l . 



cos *i/> — sin (/' 



Als Anwendung mag der einfache Fall der gedämpften Schwingung 

 im konstanten Felde dienen. TN I L t » = et = const und / = consl liefert 



die erste dieser Gleichungen 



(/> = a. -t- 2 q sin </> cos (/) 



oder '// = '/(/> : (et, -+- q sin 2 <p). 



Die Integration zwischen den Grenzen o und - von <f> gibt mit 7 

 als der Dauer der gedämpften und /'„ = - : a als derjenigen der freien 

 halben Schwingung 1 



7" = - : y<£ — ii ' == T u : Va" — if 

 (22) 



= T] !-/■■. 



vorausgesetzt, daß q:a, = k<.\ ist. Es ist dies bekanntlich die Be- 

 dingung dafür, daß die Bewegung nicht aperiodisch ist, sondern daß 

 wirk liehe Schwingungen statt linden. 



Die vorstehende Lösung kann indessen nicht als sachgemäß an- 

 gesehen werden. Der Natur der Aufgabe entspricht es offenbar, die 

 oskulierende Schwingung nicht als ungedämpft, sondern gleich der 

 tatsächlichen Bewegung und in demselben Grade wie diese als ge- 

 dämpfl anzunehmen. 



Die dieser Absieht entsprechende Form der Grundgleichungen 

 ergibt sieh leicht aus der Betrachtung des Gleichungssystems 



<7 = e~ qt sin oct er = < ~ ' (a cos xi — q sin at) 



<j = — e~ 9 '[(ct' — '/') sin y.f -h 2 xq cos xt\ = — (a'-t- q*) er — 2i/t . 



das eine gedämpfte Schwingung in konstantem Felde darstellt. 



Es ist danach offenbar zweckmäßig, im allgemeinen Falle, in dem 

 nur noch der Dämpfungskoeffizienl q als konstant gelten soll, die Be- 

 wegungsgleichung in der Form 



(23) er = — (w ä -+- q*) (<r — v) — 2qä 



anzusetzen und die oskulierende Schwingung durch 



1 Das Integral der rechten Seite findet man u. a. bei E. Heine, Handbuch der 

 Kugelfunktionen, 1. Teil §0 (1. Auflage, S. 13, 61.4a) abgeleitet. 



