,\i>. S. ■iiMin i : Schwingungen in einem veränderlichen Kraftfelde l>21 



, — '/< 



(24) <r = *i -+- s sin <p <r = s (cu cos </> — q sin </>) s = re 



zii definieren. Wird u für /• sin </> und v für r cos <ft geschrieben, so 

 lauten die drei Gleichungen einfacher 



7 = Y[-\-ue~ gi c" = e~~ qt (wv — qu) er = — e~' J '[(ui 2 — q*)u-t- 2qwo\ . 



Durch Differentiation der ersten nach der Zeit und Vergleichung 

 mit der /weiten folgt 



y-t-i/,''' 1 — que~ qt = e~ qt {wv — qu) , also ww = «i-ni« 7 ' 

 und durch nochmalige Differentiation und Vergleichung mit der dritten 



Yi-hüe~ qt — 2 qüe~ qt -+- q'ue~ qt — — e~ qt [(u* — r/)w-f- 2qwv] 

 = — c~'''{w' 1 — (f 2 )u — 2qüe~ qi — 2qvj. 



Die so erhaltene Lösung 



(25) ü = -in'« — e''(>i+ 2jij) /• = {ü-\-v\e qt ) : u 



stimmt, wie der Vergleich mit (7) zeigt, in ihrer Form durchaus mit 

 derjenigen überein, die sich im Falle der ungedämpften Schwingungen 

 ergab; es treten nur statt der bekannten Funktionen vi und i\ zwei 

 andere, daraus unmittelbar abzuleitende, also gleichfalls vollständig 

 bekannte Ausdrücke ein. Daß diese den mit der Zeit wachsenden 

 Faktur e qt enthalten, erinnert daran, daß dieselbe Verschiebung der 

 Gleichgewichtslage einen um so größeren Einfluß hat, je kleiner die 

 Amplitude der Schwingung ist, ein Umstand, der auch in den früheren 

 Ergebnissen schon darin zum Ausdruck kam. daß v\ nur in der Ver- 

 bindung / : s auftrat. 



Sind w und v\ nicht analytisch gegeben, so ist es, wie im frü- 

 heren Falle, zweckmäßig, die Variabein <p und s beizubehalten. Um 

 die für diese geltenden Differentialgleichungen zu entwickeln, eliminiert 

 man am besten er einerseits aus den beiden ersten Gleichungen (24), 

 anderseits aus 



g<r + <r = qy -+- ws cos </> und qir-+- er = — co s s sin <f> — qws cos c/> . 



Man erhält so 



s sin <p-{-S(p cos (/> = w s cos c/> — qs sin <p — vj 



ws cos (p — ws<p sin <p = — w's sin <p — qws cos </> — ws cos <p — qv\ 



und daraus folgt die gesuchte Lösung 



w ■ * ( 2 ■ \ 



</> = w h sin </> cos <p 1 cos d) sin <* I 



w s \ w J 



y ( ■ 1 \ 



)S <t> 1 sin (p H COS eh ) , 



S \ W J 



66* 



(26) 



