Krosecker: Über orthogonale Systeme. (Forts.) 881 
stattfindet. Multiplieirt man nun die erstere der beiden Congruenzen 
(69) mit V, die letztere mit U, so resultiren die beiden Congruenzen: 
M;. —= o(modd. M,), M,.= o (modd. M,,) (,k=1,2,...n), 
durch welche die nachzuweisende Aequivalenz der beiden oben mit 
(67) und (68) bezeichneten Modulsysteme (M,,) und (M,) begründet wird. 
Die ersteren der beiden Congruenzen (70) definiren das System (r,,) 
als »das zu (%,), im Sinne der Congruenz für das Modulsystem (M,,), 
reciproke«; ebenso definiren die letzteren der beiden Congruenzen (70) 
das System (w,) als »das zu (2,), im Sinne der Congruenz für das 
Modulsystem (M;,), reciproke«. Da sich nun die beiden Modulsysteme 
(M,) und (M,,) als einander vollkommen aequivalent erwiesen haben, 
so erweisen sich auch die beiden Definitionen als aequivalent. Der 
ebenso einfache als wichtige Satz, 
dass das reeiproke eines reciproken Systems das ursprüng- 
liche System ist, 
behält daher im Sinne der Congruenz für jedes beliebige Modulsystem 
seine Gültigkeit. Denn wenn die n* Gongruenzen: 
N 
Duo = 0d,, oder also M„,= 0 (hi ı,2,...n) 
i 
für irgend ein Modulsystem (M, M’,...) des Rationalitätsbereichs 
R,N”,...) bestehen, sobald für %,., ©;. gewisse ganze Grössen U;.. V;. 
desselben Bereichs gesetzt werden, d.h. also, wenn das System W,). 
im Sinne der Öongruenz modd. W,M”,..., zu (U) reciprok ist, so 
ist das Modulsystem (M, M’,...) in dem Modulsystem (M,,)) und also 
auch in dem aequivalenten Modulsystem (M,,) enthalten, d. h. es be- 
stehen auch die rn” Gongruenzen: 
BEN \ 
M„= o oder > Ol = (modd.M,M’,..) gAi=n2...n), 
ı 
sobald darin ®,, für vo, und U, für «,, substituirt wird, und es ist 
daher auch, im Sinne der Congruenz modd. W,M”,..., das System (l;,) 
reciprok zu (B;). 
Für die Doppelsumme: 
> Dei Uy(VUy— Op) (GuRease — m, 2, an) 
Ai 
erhält man, je nachdem man zuerst nach 4 und dann nach 7 oder 
in entgegengesetzter Folge summirt, die beiden Ausdrücke: 
rır — "IT a rrr 7 
Vz (U y = ) > ogi M;; Pi y U > gr + > \ U = Up) Myn . 
7 
Ah Eneaoil) 
