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Über orthogonale Systeme. 
Von L. KronEcker. 
(Fortsetzung der Mittheilung vom 22. Mai [St. XXVI].) 
X. 
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Fir den Bereich (R = ı), d. h. für den absoluten Rationalitätsbereich 
der rationalen Zahlen, für welchen sich das Modulsystem (M, M,...) 
auf einen einfachen ganzzahligen Modul M reducirt, sind nach der vor- 
stehenden Entwickelung alle diejenigen, aber auch nur diejenigen 
orthogonalen Systeme ganzer Zahlen (w;) durch die Cavrey'sche Form 
darstellbar, für welche die Determinante: 
| Wu + ou | (een 
modulo M ein Divisor von ı ist; d. h. das Problem der Auffindung 
ganzzahliger Systeme (W;), welche den Congruenzen genügen: 
ı 
Il 
v 
WM; W;; == On (mod. M) (GE N)" 
A 
| 
t 
lässt sich dann und nur dann in der ÖOayrev’schen Weise lösen, wenn 
die Determinante |w; + ,.| relativ prim zu M ist. In diesem spe- 
ciellen Falle ganzzahliger Moduln, und überhaupt für jedes Modul- 
system höchster Stufe, steht hiernach die Anzahl der in der Car- 
rey’schen Form nicht darstellbaren orthogonalen Systeme zur Anzahl 
der darstellbaren in endlichem Verhältniss, und die für die Öayrey’sche 
Darstellungsweise gebotene Beschränkung macht sich somit bei der 
Ausdehnung auf relativ orthogonale Systeme noch stärker geltend. 
Dass aber diese Beschränkung nicht in der Natur der orthogonalen 
Systeme selbst begründet ist, erkennt man z. B. daraus, dass jene der 
Cayrev'schen Darstellungsweise hinderliche Eigenschaft der orthogonalen 
Systeme bei deren Composition nicht nothwendig erhalten bleibt. 
Um dies näher darzulegen, gehe ich auf die im art. VIII ent- 
haltenen Entwickelungen zurück. Es sind dort die sämmtlichen ortho- 
gonalen Systeme mit reellen Elementen und der Determinante + ı 
mit (25P) und mit: 
Tr (iSi<k<n) 
