Kronecker: Über orthogonale Systeme. 1067 
schrift zu Hrn. Kunmer’s Doctorjubiläum näher dargelegt habe." Man 
kann aber in der Gleichung (83), welche die Darstellung aller ortlıo- 
gonalen Systeme liefert, für die Unbestimmten r,, auch irgend welche 
bestimmte Grössen substituiren, wenn diese nur so beschaffen sind, 
dass die in der Gleichung vorkommenden Nenner nieht gleich Null 
werden. Hierfür ist es, wie die Gleichungen (81) und (82) zeigen, 
nothwendige und hinreichend, an Stelle der Unbestimmten 7,. solche 
Grössen zu setzen, dass beide Determinanten: 
|ra+ «|; | Furt di | a een) 
von Null verschiedene Werthe erhalten, und dies ist für ein ge 
ge- 
benes bestimmtes System (c,) stets möglich, da für die aus der 
Gleichung (82) bei unbestimmten 7r,. resultirenden Elemente F,, 
die Determinante | Fr + 6 | nicht identisch gleich Null wird Dem- 
nach können, wenn irgend ein orthogonales System mit der Deter- 
minante + ı gegeben ist, dessen Elemente c,. einem Rationalitäts- 
bereich (R,R,R”...) angehören, stets Grössen: 
GR, De (,k=1,2,-...n) 
desselben Bereichs gewählt werden, welche den Gleichungen: 
(34) At I; =0, Dt b,; =o0o KR 2, ea) 
genügen, und für welche: 
h zn 
Er > (— On = 2iree. (0 - d,)) ( — oe zree. (dy.+d%)) (,k=1,2,...n) 
hzı 
wird, so dass die Compositionsgleichung besteht: 
«Or (— + 2 rec. (au + 9) (du + 2 rec.(d,.+ d,)) (Gk=2,..n): 
Da nun andererseits offenbar jedes aus den beiden Systemen rechts 
componirte System ein orthogonales System des Bereichs (R,R,R”.. .) 
mit der Determinante + ı ist, sobald für a,.,b;. irgend welche den 
Gleichungen (84) genügende Grössen desselben Bereichs. genommen 
werden, so ergiebt sich das Resultat: 
Alle orthogonalen, einem Rationalitätsbereich (R,W,R”...) 
angehörigen Systeme (c,) mit der Determinante +1, und 
nur diese, werden durch die Composition von je zwei 
Systemen: 
(= dx Sr 2 Tec. (a; 4 d,)) > (- dr nz 2 Tec. (b;; En d4)) 
(NS HaD) 
erhalten, in denen a;., b,. irgend welche den Gleichungen (84) 
genügende Grössen des Bereichs (R,R,R”...) sind. 
! Vergl. den Schluss des $. 22 der eitirten Festschrift. 
