Kronecker: Über orthogonale Systeme. 1077 
dadureh vollständig charakterisirt, dass jeder der n — 1, 
den Indices r = 2,3,... n entsprechenden Differential- 
ausdrücke: 
h= . 
olnv x oInv. 
(99) Ur a Ar JS, Un 
ou,, el du, 
bei Vertausehung der Indices ı und r seinen Wertli beibehält, 
und die a» —ı partiellen Differentialgleichungen für diese Invarianten 
entstehen daher aus der folgenden: 
=. aluya Kalnven a 5 (ölny.gsolny. 
(100 > Un En U; Ar = Ehre re 
wenn man darin dem Index r nach einander die Werthe 2, 3,...% 
beilegt. 
Bei der obigen Übertragung des mit (98) bezeichneten Resultats 
auf den speciellen Fall, wo sich das Formensystem (5) auf eine 
quadratische Form redueirt, musste von der Einschränkung auf eigent- 
lich orthogonale Transformationen abgesehen werden, weil in diesem 
Falle die Unterscheidung zwischen den beiden Arten von orthogonalen 
Transformationen, d. h. zwischen denjenigen mit der Determinante + ı 
und denjenigen mit der Determinante — ı, hinfällig wird. Jede quadra- 
tische Form ist nämlich sich selbst uneigentlich aequivalent, d. h. sie 
kann mittels einer orthogonalen Substitution mit der Determinante — ı 
in sich selbst transformirt werden, und es kann desshalb keine In- 
varianten geben, welche ausschliesslich Invarianten für eigentlich 
orthogonale Transformationen wären. 
Um sich davon zu überzeugen, dass jede beliebige quadratische 
Form mit reellen Üoefficienten: 
> 440% (‚k=1,2,...n) 
ik 
durch uneigentlich orthogonale Substitutionen in sieh selbst trans- 
formirt werden kann, braucht man nur jene stets zulässige, schon 
im art. I angewendete Darstellung der’Üoefficienten a,. in der Form (1): 
hn 
% . 
dy = D,Pu CC (Ele 2 ea) 
h=ı 
zu benutzen, in welcher die Grössen c,; die Elemente eines ortho- 
gonalen Systems bedeuten. Setzt man nämlich: 
a >, &Cu0n®/ Gln=12,...n), 
I,r 
so wird: 
N 7 I 
I 448% En > EjEn Ci mr Cr Ems Lk Kr LT, Wi, Kamin 2yeee n), 
ik 
i,k,l,m,r,s 
